初高中衔接数学专题教案_暑期学生自学教材

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1、数与式的运算1绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：表示在数轴上，数和数之间的距离．例1解不等式：＞4．解法一：由，得；由，得；①若，不等式可变为，即＞4，解得x＜0，又x＜1，∴x＜0；②若，不等式可变为，即1＞4，∴不存在满足条件的x；③若，不等式可变为，即＞4，解得x＞4．又x≥3，∴x＞4．综上所述，原不等式的解为x＜0，或x＞4．13ABx04CDxP

2、x－1

3、

4、x－3

5、

6、图1．1－1解法二：如图1．1－1，表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离

7、PA

8、，即

9、PA

10、＝

11、x－1

12、；

13、x－3

14、表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离

15、PB

16、，即

17、PB

18、＝

19、x－3

20、．所以，不等式＞4的几何意义即为

21、PA

22、＋

23、PB

24、＞4．由

25、AB

26、＝2，可知点P在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)的右侧．x＜0，或x＞4．练习1．填空：（1）若，则x=_________；若，则x=_________.（2）如果，且，则b＝________；若，则c＝________.2．选择题：下列叙述正确的是（

27、）（A）若，则（B）若，则（C）若，则（D）若，则-7-3．化简：

28、x－5

29、－

30、2x－13

31、（x＞5）．2乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式；（2）完全平方公式．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式；（2）立方差公式；（3）三数和平方公式；（4）两数和立方公式；（5）两数差立方公式．对上面列出的五个公式，有兴趣的你可以自己去证明．例1计算：．解法一：原式===．解法二：原式===．例2已知，，求的值．解：．练习1．填空：（1）（）；（2）；(3)　．2．选择题：（1）若是一个完全平

32、方式，则等于（）（A）（B）（C）（D）（2）不论，为何实数，的值（）（A）总是正数（B）总是负数（C）可以是零（D）可以是正数也可以是负数-7-3．二次根式一般地，形如的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式.例如，等是无理式，而，，等是有理式．1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如与，与，与，与，等等．一般地，与，与，与

33、互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运用公式；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2．二次根式的意义例1将下列式子化为最简二次根式：（1）；（2）；（3）．解：（1）；（2）；（3）．例2　计算：．解法一：＝　　　　　

34、　　　＝＝　　　　　　　　＝　　　　　　　　＝．解法二：＝-7-　　＝　　＝　　＝　　＝．例3试比较下列各组数的大小：（1）和；（2）和.解：（1）∵，，又，∴＜．（2）∵又4＞2，∴＋4＞＋2，∴＜.例4　化简：．解：　＝　＝　＝　＝．例5化简：（1）；（2）．解：（1）原式．（2）原式=，∵，-7-∴，所以，原式＝．例6已知，求的值．　解：　∵，，　　　　∴．练习1．填空：（1）＝_____；（2）若，则的取值范围是_____；（3）_____；（4）若，则________．2．选择题：等式成立的条件是（　　）（A）　（B）　

35、　（C）　　（D）3．若，求的值．4．比较大小：2－－（填“＞”，或“＜”）．４．分式1．分式的意义形如的式子，若B中含有字母，且，则称为分式．当M≠0时，分式具有下列性质：-7-；．上述性质被称为分式的基本性质．　2．繁分式像，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．例1　若，求常数的值．解：∵，　　∴解得．例2　（1）试证：（其中n是正整数）；（2）计算：；（3）证明：对任意大于1的正整数n，有．（1）证明：∵，∴（其中n是正整数）成立．（2）解：由（1）可知＝．（3）证明：∵＝＝，又n≥2，且n是正整数，-7-∴一定为

36、正数，∴＜．例3　设，且e＞1，2c2－5ac＋2a2＝0，求e的值．解：在2c2－5ac＋2a2＝0两边同除以a2，得2e2－5e＋2＝0，∴(2e－1)(e－2)＝0，∴e＝＜1，舍去；或e＝2．∴e＝2．练习1．填空题：对任意的正整数n，()