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1、有限元分析基础教程曾攀第4章连续体结构分析的有限元方法杆梁结构由于有自然的连接关系，可以凭一种直觉将其进行自然的离散，而连续体则不同，它的内部没有自然的连接节点，必须完全通过人工的方法进行离散；有人说有限元方法的真正魅力在于它成功地处理了连续体(场)问题，人们公认的有限元方法的开拓者之一Courant，就是在1943年处理连续体问题时使用了三角形区域的分片连续函数和最小势能原理；而“有限单元”的名称，是Clough于1960年在处理平面连续体问题时正式提出的。本章将就连续体问题的有限元方法进行全面的讨论和研究。4.1连续体结构分析的工程概念最简单的1D几何图形就是直线，最简单的2
2、D几何图形就是三角形，最简单的3D几何图形就是四面体，杆单元以及梁单元从局部坐标系来看可以说是1D单元，本章将重点讨论用于连续体结构离散的2D单元及3D单元。第3章虽然仅讨论了杆单元以及梁单元，但从中已经给出了有限元分析的具有标准化分析过程的核心要素：单元本章除了使读者接受将连续的几何域划分为一系列的2D单元或3D单元这一基本思想外，其它的过程与第3章完全相同，将再一次说明了有限元分析的标准化及规范性的特征。图4-1展示了将连续的一个圆离散为有限个三角片的过程，正是按照这一原理，同样也可以将一个任意复杂的几何形状离散为一系列(有限个)标准几何图形(单元)的组合，如图4-2所示。图
3、4-1将连续的一个圆离散为有限个三角片图4-2将连续的几何域离散为由有限个三角片组成的逼近域4.2连续体结构分析的基本力学原理与第3章类似，连续体结构的力学分析也包括：基本变量、基本方程、求解原理，下面分别进行描述，有关的详细内容见参考文献[17]及[18]。89有限元分析基础教程曾攀【基本变量】4.2.1(1)连续体问题的三大类变量就基本变量而言，2D和3D问题将在1D问题上进行另外方向上的推广延伸，注意：除了在主方向上进行延伸外，还存在有每两个坐标轴之间的交叉(夹角)项，对于应力来说就是剪应力，对于应变来说就是剪应变；几种情况的基本变量列于表4-1中。表4-1连续体问题的三大
4、类变量的各个分量(直角坐标系下)1D问题2D问题3D问题位移分量u(x)uxyvxy(,),(,)uxyzvxyzwxyz(,,),(,,),(,,)应变分量εxx()xεxx(,),xyxεγyy(,),yxxy(,)yεxx(,,),xyzεεyy(,,),xyzzz(,,),xyzγγγ(,,),xyz(,,),xyz(,,)xyzxyyzxz应力分量σ()xxxσxyzσσxyzxyzσxx(,),xyxστyy(,),yxxy(,)yxx(,,),yy(,,),zz(,,),τττ(,,),xyz(,,),xyz(,,)xyzxyyzxz注：σ()x中的第一个下标表明应
5、力的方向，第二个下标表明应力所作用面的法线方向；对于应变也如此。xx一般情况下，将下标相同的正应力σ(,,)xyz或正应变ε(,,)xyz表达成σ(,,)xyz或正应变ε(,,)xyz，xxyyxy即只写一个下标，y方向以及z方向的情况类似。【基本方程】4.2.1(2)连续体问题的三大类方程及边界条件对于基本方程而言，2D和3D问题同样将在1D问题上进行另外方向上的推广延伸；几种情况的基本方程列于表4-2中。表4-2连续体问题的三大类方程的各个表达式(直角坐标系下)1D问题2D问题3D问题平衡方程dσxx∂σxx∂τxy∂∂στxx∂τxyxz=0+=0++=0dx∂∂xy∂∂∂
6、xyz∂∂τσxyyy∂∂∂τστxyyyyz+=0++=0∂∂xy∂∂∂xyz∂τ∂τ∂σxzyzzz++=0∂∂∂xyz几何方程du∂uv∂∂uvw∂∂εxx=εεxx==,yyεεεxx===,,,yyzzdx∂x∂y∂∂∂xyz∂∂vu∂vu∂∂wv∂∂wu∂γxy=+γγγxy=+,,yz=+zx=+∂∂xy∂x∂∂yy∂∂zx∂z物理方程σxx11εxx=εσ=−⎡μσ⎤εσxx=−+⎡⎤⎣⎦xxμ()σyyσzzExxxE⎣xyy⎦E11εσ=−+⎡⎤μ()σσε=−⎡σμσ⎤yyE⎣⎦yyxxzzyy⎣yyxx⎦E11εσ=−+⎡⎤μ()σσγτ=zz⎣⎦zzxx
7、yyxyxyEG111γ===τγτγτ,,xyxyyzyzzxzxGGG注：EG,,μ为材料的弹性模量，泊松比，剪切模量。90有限元分析基础教程曾攀对于一般的力学问题，还有两类边界条件(BoundaryCondition)，即，位移边界条件BC(u)以及力边界条件BC(p)；几种情况的边界条件列于表4-3中。表4-3连续体问题的两大类边界条件的各个表达式(直角坐标系下)1D问题2D问题3D问题几何边ux()=uuxy(,)xxyy==00,=uuxyz(,,)xxyyzz===
