连续体的有限元分析原理课件.ppt

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1、Chapter5连续体的有限元分析原理本章主要内容5.1连续体的离散过程及特征5.2平面问题的单元构造5.3轴对称问题及其单元构造5.4空间问题的单元构造5.5参数单元的一般原理及积分5.1连续体的离散过程及特征杆梁结构由于本身存在有自然的连接关系即自然连接点，所以它们的离散叫自然离散。而连续体则不同，它本身内部不存在自然的连接关系，而是以连续介质的形式给出物质间的互相关系，所以，必须人为的在连续体内部和边界上划分节点，以分片（单元）连续的形式来逼近原来复杂的几何形状，所以这种离散过程称作逼近性离散。5.2平面问题的单元构造5.2.1三节点三角形单元单元位移场表达如图所

2、示的3节点三角形单元，节点i、j、m的坐标分别为（xi,yi），（xj,yj），（xm,ym）节点位移分别为（ui,vi），（uj,vj），（um,vm）六个节点位移只能确定六个多项式的系数，所以3节点三角形单元的位移函数如下将3个节点上的坐标和位移分量代入上式就可以将六个待定系数用节点坐标和位移分量表示出来。写成矩阵形式，求解得A为三角形单元的面积。[T]的伴随矩阵为则整理后可得，令（下标i，j，m轮换）则单元内的位移记为单元的节点位移记为单元内的位移函数可以简写成[N]称为形态矩阵，Ni称为形态函数。用来计算三角形面积时，要注意单元结点的排列顺序，当三个节点取顺时针

3、顺序时，当三个节点取逆时针顺序时，选择单元位移函数应满足以下条件：1）反映单元的刚体位移与常量应变。2）相邻单元在公共边界上的位移连续，即单元之间不能重叠，也不能脱离。单元位移函数是线性插值函数，因此单元边界上各点的位移可以由两个结点的位移完全确定。两个单元的边界共用两个结点，所以边界上的位移连续。形态函数Ni具有以下性质：根据形函数的定义，容易证明其有以下性质：1、单元内任意一点的三个形函数之和为1。2、形函数Ni在节点i处的值为1，在其余节点处为零。2、形函数Ni在节点i处的值为1，在其余节点处为零。3、在三角形单元边界ij上的型函数与第三个顶点无关。比如，在ij边

4、上，，同理可以得到其它边界上的情况。讨论1：由于该单元的节点位移是以整体坐标系中的x方向和y方向来定义的，所以没有坐标变换问题。讨论2：由于该单元的位移场为线性关系式，其中应变转换矩阵和应力转换矩阵都是常系数矩阵，因此在任意单元内任意点都是常数。因此，3节点3角形单元是常应力和常应变单元。在实际过程中，对于应变梯度较大（也即应力梯度较大）的区域，单元划分应该适当密集，否则将不能反映应力和应变的真实变化情况，从而导致较大的误差。例题：如图所示直接三角形单元，求其形态矩阵[N]。分别对应于于a和b为任意数值的情况。单元NiNjNm1x/ay/a1-x/a-y/a2x/ay/

5、a-12-x/a-y/a4x/a-1y/a2-x/a-y/a31-x/a1-y/ax/a+y/a-11234a2aa2aOxy单元NiNjNm1x/ay/b1-x/a-y/b2x/ay/b-12-x/a-y/b4x/a-1y/b2-x/a-y/b31-x/a1-y/bx/a+y/b-11234a2ab2bOxy单元应变单元应变单元应力其中单元刚度方程根据最小势能原理得其中例求单刚。物理意义：单元节点位移与单元节点力之间的转换方程。单元刚度矩阵的每一元素是一个刚度系数，它的物理意义是单位节点位移分量所引起的节点力分量。由于单刚中每一个元素具有上述性质，所以单元刚度矩阵只决

6、定于单元的形状、大小、方向和弹性系数，而与单元的位置无关，即不随单元坐标的平行移动而改变。例求证单刚5.2平面问题的单元构造5.2.2四节点矩形单元经过等参变换,可以得到等参单元位移模式代入边界条件得以下8个式子写成矩阵形式为故求解以上方程得将求得的待定系数代入到原假定位移模式有因此有其中的四个形函数可以写成统一形式单元位移可以写成矩阵形式为其中N为形函数单元应变从几何方程可以得到应变分量上式可以简写成其中B为应变转换矩阵单元应力从物理方程可以得到应力分量上式可以简写成其中S为应变转换矩阵单元刚度矩阵通过虚功方程得到单刚方程写成分块形式为其中每一子块矩阵具体表示为上面对

7、应的是平面应力的情况，对于平面应变问题，只需将其中的弹性模量和泊松比作相应变换。对于体积力和表面力引起的节点力仍然可以用前面的公式进行计算。由于四节点矩形单元采用较高阶的位移模式，具有比三节点三角形单元更高的计算精度，但是它也缺点，一是不能适应斜线以及曲线边界；二是不便于采用大小不同的单元。5.3轴对称问题及其单元构造基本概念几何形状约束条件载荷轴对称问题分析中所使用的三节点单元，在对称面上是三角形，在整个弹性体中是三棱圆环。参照平面问题的三角形单元位移函数，轴对称问题的三节点三角形单元位移函数取为将3个节点上的坐标和位移分量代入上式就可