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1、《概率论与数理统计》《概率论与数理统计》课程手册课程手册·内容提要·疑难分析·例题解析1目录第一章随机事件及其概率....................................3第二章随机变量及其分布.................................13第三章多维随机变量及其分布............................24第四章随机变量的数字特征...............................34第五章大数定律和中心极限定理................
2、.........41第六章数理统计的基本概念...............................55第七章参数估计.............................................50第八章假设检验.............................................55第九章方差分析和回归分析...............................602第一章随机事件及其概率内容提要1、随机试验、样本空间与随机事件(1)随机试验:具有以下三个特点的
3、试验称为随机试验,记为E.1)试验可在相同的条件下重复进行;2)每次试验的结果具有多种可能性,但试验之前可确知试验的所有可能结果;3)每次试验前不能确定哪一个结果会出现.(2)样本空间:随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间,记为Ω;试验的每一个可能结果,即Ω中的元素,称为样本点,记为e.(3)随机事件:在一次试验中可能出现也可能不出现的事件称为随机事件,简称事件,常用A、B、C等大写字母表示;可表述为样本空间中样本点的某个集合,分为复合事件和简单事件,还有必然事件(记为)和不可能事件(记为).
4、2、事件的关系与运算(1)包含关系与相等:“事件A发生必导致B发生”,记为AB或BA;ABAB且BA.(2)和事件(并):“事件A与B至少有一个发生”,记为AB.(3)积事件(交):“事件A与B同时发生”,记为AB或AB.(4)差事件、对立事件(余事件):“事件A发生而B不发生”,记为A-B称为A与B的差事件;BB称为B的对立事件;易知:ABAB.(5)互不相容性:AB;A、B互为对立事件AB且AB.(6)事件的运算法则:1)交换律:ABBA,ABBA;2)结合
5、律:A(BC)(AB)C,(AB)CA(BC);3)分配律:(AB)CACBC,(AB)C(AC)(BC);4)对偶(DeMorgan)律:ABAB,ABAB,可推广3AkAk,AkAk.kkkk3、频率与概率nA(1)频率的定义:事件A在n次重复试验中出现n次,则比值称为事件A在n次重复AnnA试验中出现的频率,记为f(A),即f(A).nnnnA(2)统计概率:当n时,频率f(A)P(A).当n很大时,nnP(A)Pf(A)称为事件A的统计概率.n
6、(3)古典概率:若试验的基本事件数为有限个,且每个事件发生的可能性相等,则试验对应A中所含样本点数kk(A)古典概型(等可能概型),事件A发生的概率为:P(A)==.中样本点总数nn(4)几何概率:若试验基本事件数无限,随机点落在某区域g的概率与区域g的测度(长度、面积、体积等)成正比,而与其位置及形状无关,则试验对应几何概型,“在区域中随机地取一g的测度点落在区域g中”这一事件A发生的概率为:P(A)=.gg的测度(5)概率的公理化定义:设(,F)为可测空间,在事件域F上定义一个实值函数P(A),A
7、F,满足:1)非负性:P(A)0,对任意AF;2)规范性:P()1;3)可列可加性:若有一列AiFi,i1,2,,AiAj,使得P(Aj)P(Aj),则称j1j1P(A),AF为域F上的概率测度,简称“概率”.4、概率的基本性质(1)不可能事件概率零:P()=0.(2)有限可加性:设A,A,,A是n个两两互不相容的事件,即AA=,(ij)12nij,i,j1,2,n,则有P(AAA)=P(A)+P(A)P(A).12n12n(3)单调不减性:若事件
8、BA,则P(B)P(A),且P(B-A)=P(B)-P(A).(4)互补性:P(A)=1-P(A),且P(A)1.(5)加法公式:对任意两事件A、B,有P(AB)P(A)P(B)-P(AB);此性质可推广到任意n个事件4A,A,,A的情形.12n(6)可分性:对任意两事件A、B,有P(A)P(AB)P(AB).5、条件概率与乘法公式P(AB)(1)条件概率:设A、B是