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1、第卷第期华南工学院学报理年月用复变函数方法求解复杂形式的应力集中问题贾乃文提要长文对,,升一种复杂形式的应力集甲间题利用近似保角变换探讨了一种渐近变换函数一,具结呆与有限,刊用柯西积分过科求出应力集中系数元结果吻合但其在计算机上实现比有。限元方法简单图一所示的应力集中问题,即无限’大板水平受,,口拉中间开小圆孔圆孔之又开形凹的复合应·犷。力集中,,一般地由于引起应力集中的孔形复杂无法找〕仕,到或不存在准确的变换函数使单位圆能映射成该图址〕,。形进而利用复变函数的有关方法求出应力集中为习,此木文采用级数表达的如下近似变换函数二二二一,二。
2、。。十艺砖“梦一二、二、,于动,,,把单位圆近似地按一定精度要求映射到图所示的孔域可以证明如果变换图形关,。。必为零,于实轴对称则式中系数中的西如果变换图形关于虚轴对称则“‘士,,式中乙中各偶次项系数必为零如是变换是从域外到单位圆外且所要变换的域,含实轴和虚轴在内的个对称轴近似交换函数取为‘一有成艺贬注。〕此文子”年月日收到华南工学院学报卷公︸之一心引入韶二少则由式得心,“艺少二日树,“,由于的引入使乙平面单位圆上点映射平面上孔域周界点的确定由和给出。它比和定义的相同点作图简单,,及,公式是包含待定系数的方程对不同的扫将给出不同的值形成
3、包含,,。,若干的线代数方程组如果级数取项越多即越大变换越趋于精确从几何上说,,心平面上任一单位圆上印隔角的点按公式存在平面上孔域周界一点相对应其,,,,位置由和确定这两个平面的两点变换是严格的线代数方程组越多表明严格变,。,换点越多只有这样才能求解较多未知数的方程组但过多的级数项增加计算工,,,作量结果收敛也慢的恰当选择需在计算机上多次运算比较找出本文的计算给出。十项,,日。、口⋯⋯口。。。,、、,、,、一般地设级数取为项对有一组⋯⋯蛛存在有公式为沉。。二。“艺椒、,·、州艺阴一二、一,户九艺,二,。,日⋯⋯,。。,。、这是一组初始的
4、条件方程组由于各值均为未知对给出的各值⋯⋯各值不是计算得到的,,。而是通过作图量测得到的相当于引入一个辅助函数本文取脚“十乙,二日口考察单位圆上的否值乙期用复变函数方法求解复杂形式的应力集中问题朽则有‘二““,白,““·,、最大一二最小,,这个辅助函数相当取变换级数的前两项也是变换主要作用项辅助函数的几何意义就,。是把曲线映射到园规定一个模量由此逐步摄动到按公式所定义的变换,,沙,按辅助函数确定初始和值就对应乙平面乙点平面从原点按印隔龙,呈,,,引出射线出距离再从此端按州幅角引出新的射线与孔域相交成初始点、。由此定出初始和初始一可,,由
5、式给出的方程数以大于个未知数但利用最小二乘法可以得到恰和,未知数相等的正规方程组其中第个正规方程为,一一二,,。又、白,、。“。“。“乙一」艺二二一“力“拼艺由三角函数性质一可知一一刀一,矛“‘,、,“⋯⋯日‘,艺艺艺二一陀一一。“。““。“。“。艺一艺一’护一一“,。。“·二件⋯,’艺艺州,,按式结果可由初始值定出各叙的近似值若图形有个对称轴研究的范围可以缩小到一,,,,。、一、,之内将此范围的角分成等分分别取为、,汀汀。,,,’⋯计异出值为—刀尹—扎刀一。·,一汀兰又又,,几八⋯⋯一花—刀华南工学院学报卷作一。二生又羚一一,,号,,
6、在公式中消去了中间量’因而可以不计的数谊红角分成等分利用以下对称性条件里粗一左一”公式中的系数变为一货“入。。十一,。,‘州,艺刀三兰、匹几‘「沛十—乙孔悦耸—分,变换成更一般地表达万二产了,得到一,‘,“。“。“用“‘面万卜万乙二,一··。一,‘,“了‘获命一卜嘉艺卜卿一。十一川,。生〔〕三及二凡了刀了几了刀一二二二,元取一。是之间等分角数由式可技初值计算川的第一次迈娥,值把以代入以下各式几一扣刃似九二,。,,,。,由这些值可以修正初始值用修正后的按公式计算似的第二次近似,,直到心的前后两次结果误差很小计算趋于稳定即得到要寻求的变换级
7、数的系。数之值,,,,进一步按迭加原理分析本文的应力集中问题如以衅衅喂表无限大板不开,以,,。,,孔单向受控的应力状态委时弓表无限大板开孔则孔本身引起的附加,应力状态真正的应力期用复变函数方法求解复杂形式的应力集中问题,“、。要乡口,二十叮了、,,十要多,由应力和应力函数的对应关系应力函数也有之“’之之价必价甲、之二甲“之申之。二二,,由所得到的域外到单位圆外的映射函数简单表为厂动代入式得关于若的关系式’。劝乙叻心功石甲甲’中。乙心乙‘,中‘,。,中。其中叻动动由无限远条件可以定出叻幼动为两个待求的复势函数,这是两个圆外解析函数可表为。
8、。。矛召。切艺’梦、言““艺一刀一尸,。衡西了是待定的复常数,以,。十。利用复变函数理论咭表折合边界条件有如下两组关系。盯。产甲。功功讼厂石一’‘‘不不了石又石劝〔,〕,十,。口烤表孔边总的边界条件表取值在
