应用多元统计分析课后答案

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1、第二章2.1试述多元联合分布和边缘分布之间的关系。设X=X1,X2，⋯Xp'是p维随机向量，称由它的q（

2、p2.2设随机向量X=X1,X2'服从二元正态分布，写出其联合分布密度函数和X1,X2各自的边缘密度函数。联合分布密度函数12πσ1σ2(1-ρ2)1/2exp{-121-ρ2[x1-μ12σ12-2ρx1-μ1x2-μ2σ1σ2+fx1,x2=x2-μ22σ22]}，x1>0,x2>00,其他x1-μ12σ12-2ρx1-μ1x2-μ2σ1σ2+x2-μ22σ22=x1-μ12σ12-2ρx1-μ1x2-μ2σ1σ2+x2-μ22σ22+ρ2x1-μ12σ12-ρ2x1-μ12σ12=[ρx1-μ1σ1-x2-μ2σ2]2+（1-ρ2）x1-μ12σ12所

3、以指数部分变为-12{[ρx1-μ11-ρ2σ1-x2-μ21-ρ2σ2]2+x1-μ12σ12}令t=x2-μ21-ρ2σ2-ρx1-μ11-ρ2σ1∴dt=11-ρ2σ2dx2∴fx1=-∞+∞fx1,x2dx2=12πσ1σ2(1-ρ2)1/2exp{-x1-μ122σ12-∞+∞exp(-12t2)11-ρ2σ2dt=12πσ1exp[-x1-μ122σ12]12πσ1exp[-x1-μ122σ12]，x1>0fx1=0，其他同理，12πσ2exp[-x2-μ222σ22]，x2>0fx2=0，其他2.3已知随机向量X=X1,X2'的联合分布密度函数

4、为fx1,x2=2[d-cx1-a+b-ax2-c-2(x1-a)(x2-c)(b-a)2(d-c)2,其中,a≤x1≤b,c≤x2≤d。求：（1）随机变量各自的边缘密度函数、均值与方差。解：fx1=cdfx1,x2dx2=cd2[d-cx1-a+b-ax2-c-2(x1-a)(x2-c)(b-a)2(d-c)2dx2=2[d-cx1-a(b-a)2(d-c)2+b-a(b-a)2(d-c)2cd2x2-cdx2-2x1-a(b-a)2(d-c)2cd2x2-cdx2=1b-a同理，fx2=abfx1,x2dx1=ab2[d-cx1-a+b-ax2-c-2(

5、x1-a)(x2-c)(b-a)2(d-c)2dx1=1d-c同理可得同理可得（1）随机变量的协方差和相关系数。E(x1)=abx1fx1dx1=abx11b-adx1=b+a2E(x2)=cdx2fx2dx2=cdx21d-cdx2=d+c2E(x12)=abx12fx1dx1=abx121b-adx1=13b2+ab+a2E(x22)=cdx22fx2dx2=cdx221d-cdx2=13d2+dc+c2D(x1)=E(x12)-E(x1)2=112(b-a)2D(x2)=E(x22)-E(x2)2=112(d-c)2Covx1,x2=E(x1x2)-E

6、(x1)E(x2)E(x1x2)=abdx1cdx1x2fx1,x2dx2=162b+ad+c+162d+cb+a-192b+a(2d+c)∴Covx1,x2.=136a-bd-c∴ρ=Covx1,x2D(x1)D(x2)=136a-bd-c112b-ad-c=-13（2）判断是否独立。∵fx1fx2=1(b-a)1(d-c)≠fx1,x2∴x1,x2不相互独立。2.4设随机向量X=X1,X2，⋯Xp'服从正态分布，已知其协差阵为对角阵，证明的分量是相互独立的随机变量。∵=1122⋱ppij=0,i≠j∴xi与xj不相关又∵X=X1,X2，⋯Xp'服从正态分

7、布∴xi与xj相互独立。（i≠j，i，j=1，2，⋯，p）2.5解：依据题意，X=57000154020016214501227000144187503612000381219008450001528350813200190210001381200026E(X)=1nα=16x(α)=35650,12.33,17325,152.5'D(X)=1nα=16(xα-x)xα-x'=16799000032416.6732415.66710.888969768750-6140013925-29.8336976875013925-614000-29.833304781

8、25-166562.5-166562.513912.