应用多元统计分析课后答案 .pdf

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1、2.1.试叙述多元联合分布和边际分布之间的关系。解：多元联合分布讨论多个随机变量联合到一起的概率分布状况，X(X,X,LX)的联合分布密12p度函数是一个p维的函数，而边际分布讨论是X(X,X,LX)的子向量的概率分布，其概率密度12p函数的维数小于p。2.2设二维随机向量(XX)服从二元正态分布，写出其联合分布。122解：设(XX)的均值向量为μ，协方差矩阵为112，则其联合分布密12122212度函数为1221/2121

2、f(x)112exp(xμ)112(xμ)。22222122122.3已知随机向量(XX)的联合密度函数为122[(dc)(xa)(ba)(xc)2(xa)(xc)]f(x,x)121212(ba)2(dc)2其中axb，cxd。求12（1）随机变量X和X的边缘密度函数、均值和方差；12（2）随机变量X和X的协方差和相关系数；12（3）判断X和X是否相互独立。12（1）解：随机变量X和X的边缘密度函数、均值和

3、方差；122[(dc)(xa)(ba)(xc)2(xa)(xc)]df(x)1212dxx11c(ba)2(dc)22(dc)(xa)xd2[(ba)(xc)2(xa)(xc)]d12212dx(ba)2(dc)2c(ba)2(dc)22c2(dc)(xa)xd2[(ba)t2(xa)t]dc121dt(ba)2(dc)20(ba)2(dc)2c2(dc)(xa)xd[(ba)tdc22(xa)t2]112

4、1(ba)2(dc)2(ba)2(dc)2bac0baba2所以由于X服从均匀分布，则均值为，方差为。12121xc,ddc同理，由于X服从均匀分布f(x)dc1，则均值为，方差2x2220其它dc2为。12（2）解：随机变量X和X的协方差和相关系数；12cov(x,x)12abdc2[(dc)(xa)(ba)(xc)2(xa)(xc)]dbxx1212dxdxca1222(ba)2(dc)

5、212(cd)(ba)36cov(x,x)1123xx12（3）解：判断X和X是否相互独立。12X和X由于f(x,x)f(x)f(x)，所以不独立。1212x1x2122.4设X(X,X,LX)服从正态分布，已知其协方差矩阵为对角阵，证明其分量是相互独立的随12p机变量。解：因为X(X,X,LX)的密度函数为12p1p1f(x,...,x)Σ1/2exp(xμ)Σ1(xμ)1p22212又由于Σ2O2

6、pΣ22L212p1211Σ12则f(x,...,x)21pO12p12111p1Σ22L21/2exp(xμ)Σ12(xμ)212p22O12p1p1(x)21(x)21(x)21Lexp1123...pp212p222222

7、12pp1(x)2expiif(x)...f(x)则其分量是相互独立。2221pi1ii2.6渐近无偏性、有效性和一致性；2.7设总体服从正态分布，X~N(μ,Σ)，有样本X,X,...,X。由于X是相互独立的正态分布随p12n机向量之和，所以X也服从正态分布。又nnnE(X)EXnEXnμnμiii1i1i1D(X)DnXn1nDX1nΣΣX~N(μ,Σ)所以。in2in2npi1i1i1Σˆ

8、1n1nX2.8方法1：(XX)(XX)XnXXn1iin1iii1i1E(Σˆ)1E(nX1nXnXX)EXXnEXXn1iin1iii1i11nΣ1Σn(n1)ΣΣ。n1nn1i1nn方法2：S(X-X)(X-X)X-μ(Xμ)X-μ(Xμ)iiiii1i1nn(X-μ)(X-μ)2(X-μ)(X-μ)n(Xμ)(Xμ