2-5 导数与三角函数交汇

《2-5 导数与三角函数交汇》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、学习数学领悟数学秒杀数学第二章导数专题14导数与三角函数的交汇导数找到了三角函数，成为了指对跨阶的后花园，形成了指数、对数、三角的三足鼎立之势，尤其在2019全国新课标一卷的导数题出现了三角函数找点，大家开始对导数和三角函数的交汇类型题进行疯狂研究，这一部分到底有什么秘密呢？还是从高考原题开始研究，再通过一些最新模拟题寻找一个变化趋势，我们尽量给到您展现那种可以触摸得到的简单方法．第一讲一切从切线开始图14-1-1图14-1-2三角函数的切线方程，按照平移体系得到，如图14-1-1和14-1-2所示，当x0时，sinxx，cosx1；按照这个原理来进行平移计算，当切点为xx0时，得到s

2、in(xx0)xx0，cos(xx0)1．【例1】（2019•新课标Ⅱ）曲线y2sinxcosx在点(，1)处的切线方程为（）A．xy10B．2xy210C．2xy210D．xy10【解析】法一由曲线y2sinxcosx，得y2cosxsinx，所以yx2cossin2，所以曲线y2sinxcosx在点(，1)处的切线方程为y12(x)，即2xy210，故选C．法二由于sinxx，cosx1，故当切点x0时，则有2sin(x)cos(x)2sinxcosx

3、2(x)1，故2sinxcosx2(x)1，即y2x21，故选C．法三直接平移到原点来秒杀，由f(x)2sinxcosx2x1，得f(x)f(x)2(x)1，故选C．x【例2】（2019•天津）曲线ycosx在点(0，1)处的切线方程为．2111x【解析】法一由题意，可知ysinx，所以yx0sin0，曲线ycosx在点(0，1)处22221的切线方程为y1x，整理得x2y20．故答案为x2y20．2xx法二由cosx1可直接算出切线放程为x2y20．故答案为x2y2

4、0．22虽然切线方程可以通过求导直接得到，计算起来非常简单，但是通过切线得到的不等式对解题的帮助至关重要．当三角函数是一个求n次导都没有终点的函数时，通常我们把x0R，使得f(x0)0时的点(x0，f(x0)叫做函数f(x)的拐点（f(x)在xx0的两侧异号），所以导致x0时，xsinx，x0时，xsinx，即在一些解决三角函数恒成立的问题时，通常都会给到限制范围．如图14-1-3和图14-1-4所示，关于函数yxcosx与yxsinx，它们都与直线yx相切，函数yxcosx与直线yx相切于点x00，x12，x24，由于函数yxcosx为奇函数，

5、故x0时的切点和x0时的切点完全关于原点对称，显然当x0时，xxcosx；当x0时，xxcosx；yxsinx与yx相切307学习数学领悟数学秒杀数学第二章导数5937于点x1，x2，x3，由于yxsinx是偶函数，故x0的切点分别为x0，，显22222然x0时，xxsinx，x0时，xxsinx，当然不要忘记，函数yxsinx在原点的切线是y0．图14-1-3图14-1-4【例3】（2013•全国）曲线yxcosx在点(0，0)处的切线方程为．【例4】（2019•金台月考）已知曲线f(x)xcosx3x在点(0，f(0))处的切

6、线与直线ax2y10垂直，则实数a的值为（）1A．4B．1C．D．42【例5】（2019•蚌埠期末）曲线yaxcosx在x处的切线与直线y2x1垂直，则实数a的值为（）21144A．B．C．D．总结：我们要的就是把这些切线的切点通过平移到原点来构造切线，先把yaxcosx向左平移后寻找2在原点位置的切线，这是一种切线的玩法．【例6】（2019•青羊期中）曲线yxsinx在点(，)处的切线方程为（）22A．xy0B．xy0C．2x4y0D．2x4y30【例7】（2019•廊坊月考）函数f(x)xsinx(1cosx)的图

7、象在点(，)处的切线方程是．308学习数学领悟数学秒杀数学第二章导数sinx1【例8】（2011•湖南）曲线y在点M(，0)处的切线的斜率为（）sinxcosx241122A．B．C．D．2222总结：函数图像相对复杂的，直接求导，因为我们研究图像切线不等式终究是为了后面写解答题有用的．第二讲三角函数中的同构式一找基友同构x如图14-2-1所示，已知函数h(x)ecosx，则函数