第六章习题选解

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1、湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料第六章习题选解6-1对下列方程求出常数特解，并且画出方程经过,0x的积分曲线的走向，从而判断0各驻定解的稳定性；然后作变量替换，使非零驻定解对应于新的方程的零解。dx21）AxBx,A,0B,0x0dtdx2）xx1x,3x00dtdxA解1）方程可化为Bx(x)，则其常数特解为dtBAx,0x，即为驻定解。12BA由于方程为分离变量方程（或迫努利方程），当x,0x时，分离变量得B11dxAdtxAxB方程的通解为xAtCeABx

2、Ax0利用初始条件x0x0x0,0x0，得C，故得原方程满足初始BABx0条件的解为Ax(t)t0（1）AAtBBex0由式（1）和方程右端的表达式，得出dx当x0时，0，x(t)递增，0dtAAAt又BB,BeB时，x(t)，xx001A即ttln()1时，x(t)。AxB0湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料AAdxB,0x,00x0Bdt当x00时，有AAdxB0,x,00xBdt0Ax(t)t

3、B所以解（1）的图像如图6-5所示。xdx0dtx(t)01odxt0dtAx(t)2B图6-5从解的图像可以看出：A解x0不稳定；解x稳定。12BA利用变换yx，可将原方程化为BdyAA22A(y)B(y)AyBydtBBA所以原方程的驻定解x对应于方程2Bdy2AyBydt的零解y0。2）由xx1x30，求得常数解为x,0x,1x3。123因为ft,xxx1x3在全平面上连续可微，故对任意初始点t,x，解唯一存00在，当t,0x0时有湖北民族学院理学院《常微分方程》课

4、程教学辅导资料dx在区域0x1，0，任意解xxt递增，在t时，以x1为渐近线。dtdx在区域1x3，0，任意解xxt递减，在t时，以x1为渐近线。dtdx在区域x3，0，任意解xxt递增，在t时，xt远离xt3，3dtdx又t，故xt有铅直渐近线。积分曲线的分布如图6-6所示。dtxdx0dtx(t)333dx0dt1x(t)12dx0todtt,0x00图6-6从图6-6看出：当x0时，xt)(0；当0x3时，xt)(1，当t时，00驻定解x1稳定

5、；x3不稳定。23令yx1，代入原方程，得dyyy1y2dt令yx3，代入原方程，得dyyy2y3dt所以原方程的驻定解x1和x3对应于新方程的零解y0。23评注：驻定解是使方程的左端为零的解，也就是常数解。如果方程的通解能够解出，直接可研究驻定解的稳定性；如果方程的解不易得到，就从方程本身的特点研究其稳定性，这时可利用解的导数的符号得到解的单调区间从而推断驻定解的稳定性。从题目中我们还可以知道，非零驻定解可以通过变量替换化为新方程的零解，这也是为什么在稳定性理论的研究湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅导资料dx2

6、中只考虑零解稳定性的缘故。方程AxBx是著名的罗杰斯蒂克（Logistic）微分方dt程型，常用来研究生态、经济等领域中的问题。6-2试讨论线性方程组dxaxbydtdycydt的奇点类型，其中a，b，c为实数且ac0。解因为方程组是二阶线性驻定方程组，且满足条件abac0，故线性方程组有唯一的奇点，即原点0,0。0cab2又由detAEacac0，0c得a,c。12所以由定理6.1知，方程组的奇点0,0可以分为以下类型：ac,c,0奇点为稳定结点ac,0奇点为结点

7、acac,c,0奇点为不稳定结点a,c为实数ac,0奇点为鞍点(不稳定)b,0奇点为退化结点aca(,0)c(,0)奇点为(不)稳定结点b,0奇点为奇结点评注：讨论含参数系统的稳定性时，要注意各个参数的变化对奇点类型的影响。6-3试求出下列方程组的所有奇点，并讨论相应的驻定解的稳定性态。dx2dx9x6y4xy5xydtdt1）2）dy6x6y5xy4y2dyx(yx2),0dtdt解1）先求出奇点。解方程组湖北民族学院理学院《常微分方程》课程教学辅