复变函数习题选解

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1、复变函数习题选解第一章复数和复变函数习题1.11．求下列复数的实部和虚部：，，，。解：，∴，，，∴，，，∴，，，∴，。2．求下列复数的模和辐角：，，–i，2–i。解：①，（k为整数）②，（k为整数）③

2、–i

3、=1，（k为整数）④，。4．求1+i和–i的n次方根。解：29（k=0，1，2，…，n–1），k=0，1，2，…，n–1。5．设z=x+iy，证明：

4、x

5、≤

6、z

7、≤

8、x

9、+

10、y

11、及

12、z

13、≥。证明：∵

14、z

15、=，∴

16、x

17、≤

18、z

19、≤

20、x

21、+

22、y

23、，又

24、z

25、==，≤∴

26、z

27、≥。11．写出任意直线方程的复数形式。解：设直线方程为Ax+By=C（A、B、C为实常数，且A

28、、B不同时为零），因x=，y=，代入上式得+=C。即+=C。令，则。于是直线方程的复数形式，其中为非零复数，C为实数，z=x+iy。12．求证：是一圆，其中b为实数，且

29、a

30、2>b29，并指出其圆心的位置和半径大小，若

31、a

32、2=b或

33、a

34、2>4b，于是原方程变为x2+y2+Bx+Dy+b=0，其中B、D、b均为实数，且B2+D2>4b，即原方程代表一个实圆，其圆心为(，)

35、，半径为。若

36、a

37、2=b，原方程代表一个点(，)若

38、a

39、20），是等边双曲线在第一象限的一支。（4）由z=acost+ibsint，得x=acost，y=bsint，即=1，这是椭圆。6．指出下列方程的图形：（1）

40、z

41、–5

42、=6；（2）

43、z+i

44、=

45、z–i

46、；（3）Re(i)=–3；（4）

47、z+3

48、+

49、z+1

50、=4；（5）arg(z–i)=；（6）Im=1。解：（1）表示圆心在z=5，半径为6的圆周。（2）满足该方程的点到i与–i距离相同，故为x轴，或由

51、z+i

52、=

53、z–i

54、得x2+(y+1)2=x2+(y–1)2，∴y=0，即x轴。29（3）由Re(i)=–3得Re[i(x–iy)]=–3，即y=–3，为平行x轴的直线。（4）由

55、z+3

56、+

57、z+1

58、=4知，该图形上的点是到–3，–1的距离之和为常数4的点。由椭圆定义，该方程代表的图形为焦点(–3，0)，(–1，0)而长轴为

59、4的椭圆。（5）由辐角定义，该图形为由i出发且与x轴正向成45o的射线（不含i）。（6）∵，∴，即=1，亦即x2+(y+)2=()2，故原方程代表的图形是以(0，–)为圆心、为半径的圆周（除去(0，0)）。8．函数w=把下列z平面上的曲线映射成W平面上怎样的曲线？（1）x2+y2=4；（2）y=x；（3）x=1；（4）(x–1)2+y2=1。解：设z=x+iy，w=u+iv，则w=，即u+iv=，u=，v=或x=，y=。（1）由x2+y2=4得u2+v2=，即w=将x2+y2=4变成w平面上的曲线u2+v2=。（2）由y=x得u=–v，即W=将直线y=x映射成W

60、平面上的二、四象限坐标角的平分线。（3）由x=1得u2+v2=u，即(u–)2+v2=()2，即把直线x=1映射成圆周（以(，0)为圆心，为半径）。29（4）由(x–1)2+y2=1得(u2+v2)(1–2u)=0，∴u=。习题1.32．下列级数是否收敛？是否绝对收敛？（1）；（2）；（3）。解：（1）∵，又，均收敛。故收敛，但发散，故条件收敛。（2）∵收敛。故绝对收敛。（3）∵，∴发散。4．证明：在整个复平面C中内闭一致收敛。证明：对复平面C中任何有界闭子域D，设z∈D时

61、z

62、≤k（k为某常数），则当z∈D时，≤，而在D内收敛。∴在D内一致收敛，从而原级数在C

63、中内闭一致收敛。第二章解析函数基础习题2.11．下列函数在何处可导？何处不可导？何处解析？何处不解析？（1）w=z2；（2）w=x2+iy2；（3）w=x3–3xy2+i(x2y–y3)。29解：（1）设z=x+iy，则w=z2=(x–iy)(x+iy)2=x3+xy2+i(yx2+y3)，u(x，y)=x3+xy2，v(x，y)=yx2+y3，ux=3x2+y2，uy=2xy，vx=2xy，vy=x2+3y2。要使ux=vy，uy=–vx，只有x=0，y=0。即函数仅在原点满足黎曼条件，故函数仅在z=0可导，其余z≠0时不可导，在C上不解析。（2）u=x2，v

64、=y2，ux=2x，uy