复变函数习题选解.pdf

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1、'.复变函数习题选解第一章复数和复变函数习题1.111i1i231．求下列复数的实部和虚部：，，()，(12i)。i1i1i1i11解：i，∴Re()0，Im()1，2iiii221i(1i)12ii1i1ii，∴Re()0，Im()1，21i1i21i1i21i212ii1i21i2()1，∴Re()1，Im()0，21i12ii1i1i323(12i)132i3(2i)(2i)52i，33∴Re(12i)5，Im(12i)2。1i2．求下列复数的模和辐角：1i，，–i，2–i。2解：①

2、1i

3、

4、2，Arg(1i)2k（k为整数）41i21i②，Arg()2k（k为整数）2224③

5、–i

6、=1，Arg(i)2k（k为整数）21④

7、2i

8、5，Arg(2i)2karctan。24．求1+i和–i的n次方根。12k2knn442n8k8k解：(1i)

9、1i

10、(cosisin)2(cosisin)nn4n4n（k=0，1，2，⋯，n–1）;.'.12k2knn22(i)

11、i

12、(cosisin)nn4k4kcosisin，k=0，1，2，⋯，n–1。2n2n

13、x

14、

15、y

16、5．设z=x+iy，证明：

17、x

18、

19、≤

20、z

21、≤

22、x

23、+

24、y

25、及

26、z

27、≥。222证明：∵

28、z

29、=xy，∴

30、x

31、≤

32、z

33、≤

34、x

35、+

36、y

37、，2222又

38、z

39、=xy=

40、x

41、

42、y

43、，222

44、x

45、

46、y

47、2(

48、x

49、

50、y

51、)

52、x

53、

54、y

55、()

56、x

57、

58、y

59、2222222

60、x

61、

62、y

63、

64、x

65、

66、y

67、222≤

68、x

69、

70、y

71、

72、z

73、22

74、x

75、

76、y

77、∴

78、z

79、≥。211．写出任意直线方程的复数形式。zz解：设直线方程为Ax+By=C（A、B、C为实常数，且A、B不同时为零），因x=，2zzy=，代入上式得2izzzzABiABiA+B=C。即z+z=C。22i22AB

80、iABi令，则。于是直线方程的复数形式22zzC，其中为非零复数，C为实数，z=x+iy。212．求证：zzazazb0是一圆，其中b为实数，且

81、a

82、>b，并指出其圆心的位;.'.2置和半径大小，若

83、a

84、=b或

85、a

86、>4b，22于是原方程变为x+y+Bx+Dy+b=0

87、，22BD其中B、D、b均为实数，且B+D>4b，即原方程代表一个实圆，其圆心为(，)，2222BD4b半径为。22BD若

88、a

89、=b，原方程代表一个点(，)222若

90、a

91、

92、，得x=t，y=，即y=（x>0），是等边双曲线在第一象限22ttx的一支。22xy（4）由z=acost+ibsint，得x=acost，y=bsint，即=1，这是椭圆。22ab6．指出下列方程的图形：（1）

93、z–5

94、=6；（2）

95、z+i

96、=

97、z–i

98、；（3）Re(iz)=–3；（4）

99、z+3

100、+

101、z+1

102、=4；1（5）arg(z–i)=；（6）Im=1。4z解：（1）表示圆心在z=5，半径为6的圆周。（2）满足该方程的点到i与–i距离相同，故为x轴，或由

103、z+i

104、=

105、z–i

106、得2222x+(

107、y+1)=x+(y–1)，∴y=0，即x轴。;.'.（3）由Re(iz)=–3得Re[i(x–iy)]=–3，即y=–3，为平行x轴的直线。（4）由

108、z+3

109、+

110、z+1

111、=4知，该图形上的点是到–3，–1的距离之和为常数4的点。由椭圆定义，该方程代表的图形为焦点(–3，0)，(–1，0)而长轴为4的椭圆。o（5）由辐角定义，该图形为由i出发且与x轴正向成45的射线（不含i）。1xiyxy（6）∵i，222222zxyxyxy1yy∴Im，即=1，2222zxyxy21212亦即x+(y+)=()，

112、2211故原方程代表的图形是以(0，–)为圆心、为半径的圆周（除去(0，0)）。2218．函数w=把下列z平面上的曲线映射成W平面上怎样的曲线？z2222（1）x+y=4；（2）y=x；（3）x=1；（4）(x–1)+y=1。解：设z=x+iy，w=u+iv，则11xyw=，即u+iv=i，2222zxiyxyxyxyuvu=，v=或x=，y=。22222222xyxyuvuv2222112222（1）由x+y=4得u+v=，即w=将x+y=4变成w平面上的曲线u+v4z1=。41