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1、⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯《实变函数论》习题选解一、集合与基数1.证明集合关系式：（1）(AB)(CD)(AC)(DB)；（2）(AB)(CD)(AC)(BD)；（3）A(BC)(AB)C；（4）问(AB)CA(BC)成立的充要条件是什么？cccc证（1）∵ABAB，(AB)AB（对偶律），A(BC)(AB)(AC)（交对并的分配律），第二个用ccccc∴(AB)(CD)(AB)(CD)(AB)(CD)对偶律交对并ccccc(ABC)(ABD)(AC)(BD)(AC)(DB).分配律交换律cccc（2）(AB)(CD)(
2、AB)(CD)(AC)(BD)结合律第二个用c(AC)(BD)(AC)(BD).对偶律分配律cccc（3）A(BC)A(BC)A(BC)(AB)(AC)c(AB)C(AB)C.（4）(AB)CA(BC)CA.证必要性（左推右，用反证法）：若CA，则xC但xA，从而D，x(AD)，于是xA(BC)；但x(AB)C，从而左边不等式不成立，矛盾！充分性（右推左，显然）：事实上，∵CA，∴ACC，如图所示：故(AB)CA(BC).2.设A{0,1}，试证一切排列(a1,a2,,an,),anA所成之集的势（基数）为c.证记E{a(a1,a2,,an,),anA{0,1}}为所有排列所成之集，对任一
3、排列a(a1,a2,,an,),anA{0,1}，令f(a)0.a1a2an，特别，f(0)0.0000[0,1]，f(1)0.1111[0,1]，即对每一排列对应于区间[0,1]上的一个2进小数0.a1a2an[0,1]，则f是一一对1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯应（双射），从而集合E与集合[0,1]对等（即E～[0,1]），而对等的集合有相同的基数，故E[0,1]c.3.证明：整系数多项式的全体是可列的（可数的）.2n证对任一nN，n次多项式Pna0a1xa2xanx对应于一个序列：a0,a1,a2,,an，而每个ai
4、(0in)取自可数集ZN{0}N，因此，全体n次整系数多项式Pn是有限个（n1个）可数集之并集，仍是可数的.故全体整系数多项式所构成的集合PPn就是可数个可数集之并集，由定理1.3.8可知：它仍是可数的.nN4.设C[0,1]表示区间[0,1]上一切连续函数所成之集，试证它的势为c.证首先，对任意实数kR，看作常值连续函数，kC[0,1]，∴RC[0,1]，即cC[0,1]；另一方面，实数列全体之集E{(a1,a2,,an,),aiR}的基数Ec，为证C[0,1]c，只需证C[0,1]与E的一个子集对等即可.事实上，把[0,1]中的有理数Q[0,1]排列成r1,r2,,rn,.对任何fC[
5、0,1]，则f由它在r1,r2,,rn,处的值f(r1),f(r2),,f(rn),所完全确定.这是因为Q在[0,1]中是稠密的，即对任何x[0,1]，存在上述有理数列的一个子列rnx(k)，由f的连续性知：kf(x)limf(rn).kk现在，作映射:C[0,1]E，f(x)(f(r1),f(r2),,f(rn),)，则是单射，而集A{(f(r1),f(r2),,f(rn),)fC[0,1]}E是全体实数列E的一个子集，故C[0,1]～AE，即C[0,1]c.综上可知：C[0,1]c.附注①若A1A2，B1B2，又f1：A1～B1，f2：A2～B2.则存在f：A1A2～B1B2；假如A1
6、A2，B1B2，f1,f2的意义同前，问是否存在A2A1到B2B1的一一对应？f1(x),xA1,解若A1A2，B1B2，令f(x)则f(x)就是A1A2f2(x),xA2,2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯最新资料推荐⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯到B1B2的一一对应.若A1A2，B1B2，则A2A1与B2B1之间不一定存在一一对应.例如：A1{2,3,,n,},B1{3,4,,n},A2B2{1,2,,n,}，f1:nn1(n2,3,)，f2:nn(n1,2,)，则f1是A1到B1的一一对应，f2是A2到B2的一一对应.但A2A1{1},B2B1{1,2}，显然A
7、2A1与B2B1之间不存在任何一一对应.②几个常见的一一对应：xa（ⅰ）(a,b)～R，f(x)tan,x(a,b)；ba2x(0,1)～R，f(x),x(0,1)；21x（ⅱ）(0,1)～[0,1]，将(0,1)中的有理数排列为r1,r2,,rn,，而[0,1]中的有理数排列为0,1,r1,r2,,rn,.作其间的对应f如下：0,当xr1,1,当xr2,f(x)则f(x)是(0,1)与[0,1]间的一一对应.rn2,当
