复变函数习题选解.docx

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1、'.复变函数习题选解第一章复数和复变函数习题1.11．求下列复数的部和虚部：1，1i，(1i)2，(12i)3。i1i1i解：1ii，∴Re(1)0，Im(1)1，ii2ii1i(1i)212ii2i，∴Re(1i)0，Im(1i)1，1i1i221i1i(1i)212ii21，∴Re(1i)21，Im(1i)20，1i12ii21i1i(12i)3132i3(2i)2(2i)352i，∴Re(12)35，Im(12i)32。i2．求下列复数的模和角：1i，1i，–i，2–i。2解：①

2、1i

3、2，Arg(1i)2k（k整数）4②1i2，Ar

4、g(1i)2k（k整数）2224③

5、–i

6、=1，Arg(i)2k（k整数）2arctan1。④

7、2i

8、5，Arg(2i)2k24．求1+i和–i的n次方根。12k42k4)2n2(cos8k8k解：(1i)nn

9、1i

10、(cosnisinisin)n4n4n（k=0，1，2，⋯，n–1）;.'.1n

11、i

12、(cos22kisin22k(i)nn)ncos4kisin4k，k=0，1，2，⋯，n–1。2n2n5．z=x+iy，明：

13、x

14、≤

15、z

16、≤

17、x

18、+

19、y

20、及

21、z

22、≥

23、x

24、

25、y

26、。2明：∵

27、z

28、=x2y2，∴

29、x

30、≤

31、z

32、≤

33、x

34、+

35、y

36、，又

37、

38、z

39、=x2y2=

40、x

41、2

42、y

43、2，(

44、x

45、

46、y

47、)2(

48、x

49、

50、y

51、)2

52、x

53、2

54、y

55、2

56、x

57、

58、y

59、222≤

60、x

61、2

62、y

63、2

64、x

65、2

66、y

67、2

68、x

69、2

70、y

71、2

72、z

73、222∴

74、z

75、≥

76、x

77、

78、y

79、。211．写出任意直方程的复数形式。解：直方程Ax+By=C（A、B、C常数，且A、B不同零），因x=zz，y=zz，代入上式得22iABiABiz=C。Azz+Bzz=C。即z+22i22令ABi，ABi。于是直方程的复数形式22zzC，其中非零复数，C数，z=x+iy。12．求：zzazazb0是一，其中b数，且

80、a

81、2>b，并指出其心的位;.'.置和

82、半径大小，若

83、a

84、2=b或

85、a

86、2>4b，于是原方程变为x2+y2+Bx+Dy+b=0，其中B、D、b均为实数，且B2+D2>4b，即原方程代表一个实圆，其圆心为(B，D)，22半径为B2D24b。2若

87、a

88、2=b，原方程代表一个点(B，D)若

89、a

90、2

91、么曲线？其中–∞0），是等边双曲线在第一象限的一支。（4）由z=acost+ibsint，得x=acost，y=bsint，即x2y2=1，这是椭圆。a2b26．指出下列方程的图形：（1）

92、z–5

93、=6；（2）

94、z+i

95、=

96、z–i

97、；（3）Re(i

98、z)=–3；（4）

99、z+3

100、+

101、z+1

102、=4；（5）arg(z–i)=；（6）Im1=1。4z解：（1）表示圆心在z=5，半径为6的圆周。（2）满足该方程的点到i与–i距离相同，故为x轴，或由

103、z+i

104、=

105、z–i

106、得x2+(y+1)2=x2+(y–1)2，∴y=0，即x轴。;.'.（3）由Re(iz)=–3得Re[i(x–iy)]=–3，即y=–3，为平行x轴的直线。（4）由

107、z+3

108、+

109、z+1

110、=4知，该图形上的点是到–3，–1的距离之和为常数4的点。由椭圆定义，该方程代表的图形为焦点(–3，0)，(–1，0)而长轴为4的椭圆。（5）由辐

111、角定义，该图形为由i出发且与x轴正向成45o的射线（不含i）。（6）∵1xiyxyy2i，zx2y2x2y2x2∴1yyImzx2y2，即x2y2=1，亦即x2+(y+1)2=(1)2，22故原方程代表的图形是以(0，–1)为圆心、1为半径的圆周（除去(0，0)）。228．函数w=1把下列z平面上的曲线映射成W平面上怎样的曲线？z（1）x2+y2=4；（2）y=x；（3）x=1；（4）(x–1)2+y2=1。解：设z=x+iy，w=u+iv，则w=1，即u+iv=x1x2x2x2yy2i，ziyyu=x2x，v=y或x=u，y=v。y2x2

112、y2u2v2u2v2（1）由x2+y2=4得u2+v2=1，即w=1将x2+y2=4变成w平面上的曲线u2+v24z=1。4（2）由y=x得u=–v，即W=1将直线y=x映射成W