高一学生函数概念理解水平的调查研究

《高一学生函数概念理解水平的调查研究》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

摘要函数是中学数学课程的核心内容。高一作为初中和高中数学学习的衔接阶段，其对函数概念的理解非常有针对性，因此，本研究以江西省某高中高一年级的三个班级共151人为样本，利用范希尔理论，将学生对函数概念的理解程度划分为6个水平：前认知水平，直观化水平，描述/分析水平，抽象/关联水平,形式推理水平，严密性/元数学水平。在调查研究过程中，采用测试问卷法，用SPSS对调查的数据进行整理、分析，并通过Exc1e对数据结果进行总结归纳。研究结果表明：大部分学生对函数概念的理解水平可以达到描述/分析水平，很少的学生达到严密性/元数学水平，一部分学生可以达到形式推理水平。在每个水平上，重点班学生的认知程度整体上要优于普通班学生。另外，虽然从函数概念理解水平的总体上来说，女生的认知程度要优于男生，但在其各个项目水平上，男生和女生却并无太大差异。全文共分成5章。第一章是课题提出。在对本研究课题选题缘由进行阐述的基础上，提出本研究课题的选题意义以及要研究的目标。第二章是研究综述。通过和本研究有关的文献资料的收集和整理，分别从函数研究、函数教学研究和范希尔理论的相关研究几个方面对其研究现状进行梳理和分析。第三章是研究的设计和过程。这一章对本研究的测试问卷进行分析，通过被试的对象，对问卷进行调查，对函数概念理解水平进行划分。第四章研究的调查结果和数据分析。本章在第三章问卷测试的基础上，对问卷的调查结果的数据进行总体分析和具体分析，分别从不同班级、不同性别方面进行说明，另外对各个水平的相关性也进行说明。第五章是研究的主要结论与教学建议。总结出主要的研究结论，并分别从教师教学、学生学习以及中学课程方面提出相应的教学建议。关键词：函数概念；理解水平；范希尔理论I AbstractFunctionisthecorecontentofmiddleschoolmathematicscurriculum.Higherasjuniorandseniorhighschoolmathematicslearninggoesontothestage,itsunderstandingofthefunctionconceptisverytargeted.Therefore,Inthisstudytheaffiliatedhighschoolofsouthjiangxiprovincehighgradethreeclasses,atotalof151samples,usingFanXiertheory,thedegreeofstudents'understandingoftheconceptsofthefunctionisdividedintoformercognitivelevel,visualizations,description/analysislevel,abstract/linklevel,levelformsofreasoning,mathematicalrigor/yuan,atotalofsixlevels.Intheprocessofinvestigationandstudy,usingthemethodoftestingthequestionnaire,theinvestigationdataofSPSSisusedtosorting,analysis,andthroughtheExclethispapersummarizestheresultofthedata.Theresultsshowthatmostofthestudents'understandingoftheconceptsoffunctionlevelcanreachthedescription/analysislevel,veryfewstudentsmathematicalrigor/yuan,partofthestudentscanformofreasoning.Ateachlevel,themajorworkclassthestudents'cognitivelevelonthewholeisbetterthantheregularclassstudents.Inaddition,althoughthelevelofunderstandingfromtheconceptoffunctiononthewhole,thecognitionofgirlsthanboys,butonthelevelofindividualprojects,boysandgirlsisnomuchdifference.Thefulltextwasdividedintofivechapters.Chapter1Projectputforward:Inthisstudyelaboratestheselectedtopicreason,onthebasisoftheselectedtopicsignificanceaswellastoputforwardtheresearchtopicresearchgoal.Chapter2Literaturereview:Throughthestudyandtherelatedliteraturecollectionandsorting,respectivelyfromthefunctionsresearch,teachingresearchandrelatedresearchinthetheoryofFanXiercombingandanalysisoftheseveralaspectsaboutthepresentsituationofitsresearch.Chapter3Researchdesignandprocess:Thischaptertestquestionnaireofthisresearchisanalyzed,throughtheobjectoftheparticipants,thequestionnaireinvestigation,thefunctionconceptunderstandinglevel.Chapter4Studytheresultsofthesurveyanddataanalysis:Inthethirdchapter,thischapter,onthebasisofquestionnairetest,theresultofthequestionnaireII surveydatatoageneralanalysisandspecificanalysis,respectivelyfromtheaspectsofdifferentclasses,differentgender,inadditiontoeachlevelofcorrelation.Chapter5Themainconclusionsofresearchandteachingadvice:Thischaptersummarizesthemainresearchconclusion,andrespectivelyfromtheaspectsofteachers'teaching,studentslearningandmiddleschoolcurriculumhasputforwardthecorrespondingteachingSuggestions.Keywords:functionconcept;Understandinglevel;FanXiertheoryIII 目录摘要.............................................................IAbstract.........................................................III目录.............................................................V1课题提出.........................................................11.1选题缘由....................................................11.1.1教师对学生理解状况有待于深化..........................11.1.2函数知识的理解对教学具有重要意义......................11.2选题意义....................................................21.2.1理论意义..............................................21.2.2实际意义...............................................31.3研究的问题..................................................41.4研究方法....................................................52研究综述.........................................................62.1函数概念的研究..............................................62.1.1国外的研究.............................................62.1.2国内的研究.............................................72.2函数教学的研究..............................................72.2.1国外的研究.............................................92.2.2国内的研究............................................102.3范希尔理论的相关研究.......................................112.3.1国外的研究............................................112.3.2国内的研究............................................132.4数学概念学习的范希尔理论...................................142.4.1范希尔理论............................................142.4.2将范希尔理论运用于函数教学的意义研究..................173研究的设计与过程................................................183.1研究整体思路...............................................183.2测试卷设计.................................................193.2.1函数概念理解水平测试卷的建构.........................193.2.2对函数概念理解水平测试卷的调查论证...................213.3被试的对象.................................................223.4测试卷调查.................................................223.4.1实施过程.............................................223.4.2分值分配及评分标准...................................223.5函数概念理解水平划分.......................................244本研究的调查结果与数据分析......................................264.1总体情况...................................................264.1.1总体得分情况.........................................264.1.2不同班级总体得分情况.................................26V 4.1.3不同性别总体得分情况.................................274.2函数概念理解在各水平得分情况...............................284.2.1不同班级在各水平上得分情况...........................284.2.2不同性别在各个水平上得分情况.........................294.3函数概念理解各水平的相关性.................................305研究结论与教学建议..............................................325.1研究结论...................................................325.1.1前认知水平............................................325.1.2直观化水平............................................335.1.3描述/分析水平.........................................345.1.4抽象/关联水平.........................................355.1.5形式推理水平..........................................365.1.6严密性/元数学水平.....................................375.2对函数概念教学建议.........................................385.2.1教师教学方面的建议..................................395.2.2学生学习方面的建议..................................415.2.3中学数学课程方面的建议..............................42结束语............................................................44参考文献..........................................................45附录............................................................47致谢............................................................50读研期间公开发表的论文（著）及科研情况............................51VI 高一学生函数概念理解水平的调查研究1课题提出1.1选题缘由1.1.1教师对学生理解状况有待于深化在数学学习中，理解所学内容毋庸置疑是最关键的。数学教育要求重视学生[1]对数学概念的理解。“只有理解才算学好了数学”。教师就是要尽可能地帮助每个学生达到他有可能达到的理解水平，并探索出达到这个理解水平的有效方法。然而在实际的教学过程中，很多教师对学生的数学知识究竟处于何种理解水平并没有清楚的认识。长期以来，在数学教学方面，中学数学教师由于受到各种因素的影响，一般都是采用传统教法中的“先定义定理、后操作应用”，在教学方式上，“题海战术”的方式屡见不鲜。忽视学生理解的现象比较普遍，部分教师对学生的理解状况并不是真正的了解，不知道学生是否真正的理解了所学的数学知识，导致在教学过程中，缺乏科学性。按照新课程的教育理念，要求教师的教学能够使学生达到理解地学习数学的目的。但就笔者了解到的情况看，在数学学习过程中，不能充分理解所学知识本质的学生占了很大比例，他们不知道数学的作用是什么，更谈不上数学的应用价值。有些学生仅仅是通过背诵和记忆数学概念以及公式符号，这样掩盖自己对数学理解上的匮乏，这些都会影响教师正确认识学生的理解状况。因为教师对学生理解水平情况了解的程度，能够严重影响学生数学知识理解的发展水平，同时对提高自己的教学水平也有着非常重要的作用，只有教师做到了解学生的理解状况，才能够在教学过程中把握好教学的层次，从而逐步改善和提高学生的理解水平。教师对学生理解的现状、层次性以及有限性缺乏清楚的认识，也就不能在了解学生理解状况的基础上选择相应的教与学的策略。因此，对教师来说，对学生理解水平情况的调查和研究是非常必要的。基于此，本研究的主题是关于中学生数学知识理解状况的调查与研究。1.1.2函数知识的理解对教学具有重要意义无论从数学知识还是数学思想角度，函数在数学中的地位举足轻重，函数思想也贯穿中小学的数学学习始终。从知识角度看，函数和其他数学知识有着紧密[1]李士铸.数学教育心理[M].上海:华东师范大学出版社，2001:64一72.1 硕士学位论文的联系，能够培养学生的辨证思维。学生对函数概念的理解与掌握直接影响到数学中很多其他知识的学习，例如：数列、不等式、圆锥曲线等等；从思想角度看，函数思想在小学就已经开始渗透了，初中开始学习函数的变量定义，高中开始学习函数的对应定义，函数的学习促使学生的数学思维方式发生巨大的转变：思维从静态到动态、从离散到连续、从主要研究运算到开始研究关系，从单一的代数式和几何的学习到数形结合的综合运用。这些都标志着数学的学习已经从常量学习进入到了变量学习，进一步增加了数学的抽象性和逻辑性。函数概念的教学，对基础教育而言是一个非常重要的内容。但是目前学生对必修Ⅰ中函数知识的学习，对于基本函数知识的掌握还处于基础状态，不能够清晰的认识各种函数模型，这些导致学生不能够有效的运用数学模型来分析和解决实际问题，对于用数学符号来表示的语言接受不了、无法有效的推理和论证函数性质的相关知识、更体会不了函数思想中的一般和特殊关系。以上的调查现状表明：研究学生对函数概念的理解水平极为紧迫。基于教师教学效率的提升和函数思想的形成的需要，本研究着眼于函数概念教学的研究。由于高一是初中和高中的衔接阶段，函数概念的理解状况能在一定程度上反映学生数学知识的理解状况，因而对了解学生数学知识的理解水平具有非常有价值，所以，本论文的题目定为“高一学生函数概念理解水平的调查研究”。主要通过对学生进行测试问卷的方法进行实证研究，并通过对调查的结果整理分析，为课堂教学提供一定的教学建议。1.2选题意义1.2.1理论意义如何了解学生对数学知识的理解状况，目前这方面的理论研究还不够，本论文的一个主要目的就是希望通过测试问卷，调查学生对函数概念的理解情况，划分出学生对函数概念的理解水平，明确学生在每一种理解水平的状况，刻画学生在每种水平上的具体表现，针对每种水平的理解情况，初步设计出和每种水平相对应的教学阶段的目标和教学应完成的任务。从理论上阐述优化学生函数概念理解的教学方法与教学策略。2 高一学生函数概念理解水平的调查研究在理论层面上，将范希尔理论运用于函数的教学，根据范希尔理论清楚的将函数概念的理解划分为六个水平，并对每一个水平学生情况逐一研究，并从理论上分析各个水平的特点，补充我国对学生函数认识水平理论研究的不足，为高一函数概念的教学提出一定的理论依据，并从理论上提出教学途径并阐述可行性。1.2.2实际意义除了数学，函数知识在其他许多学科中也有着广泛的应用；函数与方程、不等式以及数列等内容联系紧密，能够为更好地学习其他数学知识打下重要的基础；运动变化和对立统一观点通过函数概念的相关知识在数学中得到了具体体现；其所反映的函数思想在数学的各个领域都有所体现。通过对学生函数概念理解水平的调查研究，我们可以明确在函数理解水平上，哪个水平是大部分学生能达到的，哪个水平是需要学生通过努力才能达到的，哪个水平只是少数学生才能达到的，哪个水平则可以通过后续补救性学习可以达到的。函数知识贯穿高中学生学习的始终，对函数知识的理解在很大程度上可以反映出学生对数学知识的理解状况，因此，本课题的研究对高中生的数学学习有一定的帮助作用、对中学数学教师的教学提供一些的参考，为一线教师的教学提供一个反映学生状况的数据参考，使教师在日常教学中，能够更好地确定自己的教学目标及采取有效的教学策略，为实施有效的教学提供了依据。（1）力求教学使学生对函数概念的学习能够从知识层面深入到思想层面和人格层面。在我国现阶段的数学教学中，对数学的学习还仅仅只是停留在知识层面，但是对于数学学习来说，最关键的是使学生体会到数学知识背后体现的数学思想，学会用这些数学思想去解决在实际中遇到的各种问题，也就是形成学生数学素养。因此，本研究可以有效的改善传统的教学模式，使得教师在教学过程中能够充分的了解学生对函数概念的理解状况，在此基础上可以针对性地寻找相对应的教学策略，从而提高学生的数学学习能力和素养。（2）使函数学习实现从小学到高中一体化。函数的思想早在小学阶段就已经有所体现，但是在实际的教学中，很多教师都没有重视这些，以至于学生在中学阶段接触到函数概念时候往往感觉难以理解，会对函数学习产生恐惧心理，甚至最终对函数和数学感到厌恶。本研究探索改善这种现象的途径，力求获得能够实现从小学到高中的函数学习一体化的教学策略。（3）在函数教学过程中，提升学生的数学素养。在中学数学课程中，函数3 硕士学位论文是非常重要的内容，函数思想也是重要的数学思想之一，学生能否真正地理解函数概念，直接影响到学生数学素养的高低。本研究能够将提升学生数学素养的理念融入函数教学之中。对探索和优化学生对函数概念的理解有一定的现实意义。1.3研究的问题在我国现阶段的中学数学教材中，初中函数采用“变量定义”，高中函数采用“对应定义”，高一是初中和高中的衔接阶段，因此本研究把函数概念作为切入点。一方面笔者广泛的查阅和函数概念研究相关的文献资料，对其进行分类整理以及综合分析，另一方面笔者通过结合自己的见习和实习经历，得出本研究的研究方向，笔者将围绕以下3个问题进行调查研究：(1)高一学生对函数概念的理解达到了何种水平?在我国的中学数学课程安排中，函数在初中和高中阶段采用不同的定义方法，学生对函数概念的理解水平，对函数相关知识的应用、其他数学知识的学习有着重要的影响，因此，本研究依据范希尔理论对学生函数理解水平进行划分，并首先研究学生对函数概念的理解达到了怎么样的水平?(2)高一学生对函数概念的理解水平在班级、性别两方面方面是否存在显著性差异?理论是实践的基础，学校教育只有明确学生的数学思维发展规律，才能够为教师的教学实践提供更多、更好的理论依据，但在现阶段，有关高中生数学理解水平方面的研究并不多。本研究通过调查不同班级、不同程度思维高一学生对函数概念的理解水平，为高中生数学思维发展的研究尽自己的一份力。很多教师有这样的感觉，在数学的学习过程中，男生和女生是存在着一定的差异的。不仅仅是学习成绩的不同，学习方法、学习态度上也有明显不同。本论文要研究考察的一个问题问题之一，就是男女生对函数概念的理解水平是否明显不同。(3)在每一个项目水平上，学生的理解水平存在着怎样的不同?理解函数概念最重要的目的是为了提升学生解决实际问题的能力，学生对函数概念达到何种理解水平，能够说明学生对函数概念的掌握达到了怎么样的程度，进而采取有效措施改善和提高学生的理解水平。本研究对函数概念的六种水4 高一学生函数概念理解水平的调查研究平逐一进行考查，对每一个水平进行分析研究，明确学生的理解状况。1.4研究方法(1)文献研究方法。搜集近几十年来国内外函数概念的研究成果及其在教学方面应用的书籍，论文及网络资料，进行整理，通过分析、比较、鉴定，提出自己对本课题的观点。(2)案例分析法。依据教育实践中的教学案例，按照科学研究的程序，分析概括教育现象，深入、全面、系统地揭示其内在联系和规律，促进从感性认识转化为理性认识。(3)问卷调查法。在测试问卷中，不同的题目相对于不同的水平，通过学生对测试问卷的答题情况，明确学生对函数概念理解的总体水平和各个水平。5 硕士学位论文2研究综述本章笔者将从函数概念、函数教学以及范希尔理论几个方面对目前的相关研究进行综述。2.1函数概念的研究2.1.1国外的研究函数概念经历了漫长的发展过程，函数概念的研究也具有漫长的历史。国外学者对函数概念的研究主要有以下几个方面：（1）莱布尼兹的研究最早提出函数（function)概念的,是17世纪德国数学家莱布尼茨23(Lerbniz)，最初莱布尼茨用“函数”一词表示幂，例如x,x,x等都叫函数，后来在直角坐标系中，他还用函数来表示某一点的坐标。（2）约翰·贝努利及其学生欧拉的研究1718年，瑞士数学家约翰·贝努利(JohannBernoulli)对函数概念进行扩充，提出了解析的函数概念：函数即任意变量和常数组成的解析表达式。这个概念在1755年由他的学生欧拉(Euler)再次进行扩充：如果两个变量，一个变量随着另一个变量的变化而变化，那么就称前面变量是后面变量的函数。他认为，对于任意图形，其所表示的确定的x,y的关系即是函数。欧拉的定义体现了函数变量之间的变化的那种相互依赖关系。随着数学的发展，由于解析式的定义不适用于积分运算式子和分段函数等内容。人们又对欧拉“解析的函数”的概念进行完善，从几何方面进行考虑，把只可用图形表示出来的关系也称之为函数，即称为“几何的函数”。（3）柯西的研究1821年，由法国数学家柯西(Cauchy)再次对函数概念进行重新定义：若对于变量x的每一个值，都有另一个确定的变量y值与之对应，那么称y为x的函数。在此之后，俄国数学家罗巴契夫斯基，德国数学家狄里克雷相继给出了新的函数概念，进一步对函数概念进行完善，对其进行了第四次扩充。这时候，函数6 高一学生函数概念理解水平的调查研究概念已经有了很大的发展，但是自变量的取值范围却仍然受到限制。为了改变这种情况，维布伦（O.Veblem)等人对函数概念再次进行完善，重新定义了函数概念：在两个含有变量的集合之间，如果对于一个集合中的每个变量的值，另一个集合中的变量有确定的值和它相对应，那么就称后一个集合的变量为前一个集合变量的函数。（4）康托尔的研究到19世纪70年代，新的函数概念再次出现，这次的函数概念是定义在德国数学家康托尔(G.Cantor)集合论的基础上，所以也被称为“集合函数”，其定义为:“以集合为元素的集合称为P，P每一个元素称为A，和P一样，另一个以集合称为Q，Q中的元素也是集合，我们称为B。如果对于A的每一个值，都有B与之对应，那么称集合Q是集合P的集合函数。”在康托尔的集合论被大家普遍接受后，用集合对应关系来定义的函数概念也得到了人们的普遍认同。2.1.2国内的研究1859年，清代数学家李善兰(1815年-1882年)翻译了一本名叫《代数学》的书。在这本书中他将“function”翻译成成“函数”（杜石然，1961年），这是我们第一次引入函数概念。以上函数概念的发展过程与学生认识函数概念的过程基本上一致，一开始都是比较直观的，后面逐渐抽象起来，对其的认识也是一开始模糊，后面逐渐明朗。2.2函数教学的研究在20世纪初，函数进入到了中学数学，此时，德国著名数学家F·克莱因（F.Klein，1849-1925）提出统一数学教育内容的重要思想，如何去统一数学教育的内容?克莱因认为，应该用函数的概念和思想为中心，去统领整个数学知识[2]领域。他认为：函数概念，应作为所有数学知识的“灵魂”，除此之外，函数[3]知识应作为中学数学知识的“基石”。在数学知识的学习中，以函数知识为中心，使其他所有数学知识围绕函数知识，从而将数学知识融会贯通。函数在世界[2]CooneyTJ,WilsonMR.Teachers'ThinkingaboutFunctions:HistoricalandResearchPerspectives[A].In:RombergTA.IntegratingResearchontheGraphicalRe-presentationofFunction[C].Hillsdale:LawrenceErlbaumAssociationPublishers,1993.[3]PonteJP.TheHistoryofConceptofFunctionandSomeEducationalImplications[J].MathematicsEducator,1993,3(2):32.7 硕士学位论文各国的数学课程中都十分重要。在美国的中小学教材中，对于函数的教学目标是：学生能认识各种各样的函数模型，理解各个模型所代表的的函数关系；在面对有关函数的数学问题时，能够使用函数符号对问题进行简化分析；对于不同类型的数学模型，能够根据其实际情景，用函数思想体会其变化。在法国的高中数学教材中，函数的教学目标是：①对于函数中连续内容所体现的数学方法，学生要做到能够熟练运用；②学生要掌握好教材中各种常用函数。在德国，人们非常重视数学教育，从八年级开始，学生就接触函数概念，学习一次函数；到了九年级，学生开始学习二次函数；十年级的时候开始学习幂函数、指数函数、对数函数，十一年级又学习了实函数。英国的数学教材中，函数内容贯穿于整个数学教学内容，最初要求学生学的是各种函数模型，接着是多项函数的学习，再后来是对数函数、指数函数。目前，在我国的数学学习中，函数已经成为中学数学主要的重点的内容，它的学习横跨初中和高中两个重要阶段。数学知识分为代数和几何，函数知识在代数中占有很高的比例，它和其他代数知识，如方程、不等式、数列等密切相关，还和一些几何知识密切相关，如圆锥曲线等；在数学思想中，函数思想不容忽视，许多的解题方法技巧都以函数思想为基础，几乎在数学学习的各个章节，函数的思想方法都有所体现。所以，函数成为中学数学的支柱是理所当然的，这样一来，[4]其他知识和函数知识一起，构成了中学数学的内容。函数概念是学习函数的前提和基础，学生理解好函数概念，在学习其他函数知识的时候会得心应手，对于函数思想的建立以及提高也有很重要的作用，除此之外，还可以提高解决实际问题的能力。由此可见，函数概念作为数学的一个重要的基本概念，同时它也是中[5]学数学课程的核心概念。[6]我国在2003年4月颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中强调“函数是刻画现实世界中一类重要变化规律（运动变化）的模型，一种通过某一事物变化信息可推知另一事物信息的对应关系模型，……，在教学过程中，教师要淡化解题的技巧，增强学生对函数本质的理解与感悟”；“像函数这样的核心概念需[4]李彦.《普通高中课程标准试验教科书(必修)数学1(A版)中函数概念的教学分析与建议》.[5]克莱因.《古今数学思想》[Ml.上海:上海科技出版社，1979.[6]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京:人民教育出版社,2010.8 高一学生函数概念理解水平的调查研究要通过多次接触，对其反复体会，螺旋上升，才能逐步加深理解，达到真正理解其本质，灵活应用其思想的境界。”我国中学教材里，初中和高中对于函数概念是两种不同的定义，这实际上符合函数概念发展的规律，和学生对函数概念的认知规律也是一致的，然而，大量教学实践表明，学生形成和理解函数概念的水平仍不高，对函数概念的理解及运用仍是最困惑的问题之一。2.2.1国外的研究函数是贯穿中小学数学学习始终的一个重要内容，在小学开始渗透函数思想，初中开始学习函数的变量定义，高中开始学习函数的对应定义，函数的学习标志着数学从常量研究进入到了变量研究，是培养学生辨证思维的重要内容。国外学者对函数概念教学的研究成果，主要有以下几个方面：（1）Vinner的研究[7]Vinner发现很大一部分学生认为，所谓函数思想，就是指函数式子或者函22数符号。比如：很多学生头脑中对函数的理解就是“y=x,x,x+1”等一些具体的式子。Vinner用“概念表象”来描述学生对函数概念的理解。那么什么事概念表象？概念表象就是一个人的精神想象。这种精神想象是以他自身已经所拥有的全部知识概念为基础的。对于学生对的函数概念，Vinner归纳出几种常见的概念表象：函数必须包含一个单一的规则；函数必须有一个解析表达式；函数必须是系统化的、规范化的；函数图象必须是连续的；函数的对应必须是一一的。（2）D.Tan和M.Bkaar的研究和Vinner类似，D.Tan和M.Bkaar(1992)用“心理原型”(mentalProtoytPe)来描述学生对函数概念的理解。什么是心理原型呢？心理原型就是首先当事人心理有一个标准，然后在判断一个对象时，会以自己的心理原型作为参考物，将所要判断的事物与参考物进行对比，最后根据对比的结果再下结论。对于函数概念而言，学生刚开始接触它的时候，有关这个概念的心理原型是非常有限的。那这时候，如何更好的理解它？这就需要教师在教学过程中更多的从学生身边已有的实际例子出发，逐渐建立完善自己的知识结构。通过这样的途径，学生对函数概念的理解难度会降低很多。（3）L.L.Clemnet的研究[7]Vinner,SandDreyfus.Imagesanddefinitionfortheconceptoffunction，JournalforResearchinMathematicsEducation1989,20(4):356-366.9 硕士学位论文L.L.Clemnet(2001)认为仅仅通过在课堂上的函数概念学习，会限制学生对函数概念的理解。要想更好的理解函数概念，必须要在教学以外更深层次的讨论函数的相关内容。除了函数自身的知识以外，Clelnnet认为对于学生函数概念理解的评价方式也应该改变。这样才能更好的帮助学生理解函数概念。2.2.2国内的研究在我国，对于函数教学的研究，大多数是理论方面的分析，实证方面的研究比较有限，主要成果有：（1）朱文芳的研究[8]朱文芳(1999)的研究是以心理学为依据，从三个方面对学生的函数概念理解水平进行分析。首先是概念的形成水平；然后是不同的数学气质类型；最后是学生的思维发展水平。研究的结果表明，在这三个方面，数学气质类型的不同对学生函数概念的理解最明显。她对高中生的函数概念发展水平进行了调查和数据分析，她发现，在高中阶段，学生对生函数概念的理解水平有着非常明显的阶段特征。特别高一学生，刚刚由初中进入到高中，很多学生对于高中函数概念所体现的运动、变化思想感到难以理解。(2)李士绮的研究[9]李士绮(2001)的研究包括两方面：数学概念的过程、数学概念的对象。他指出函数概念的理解主要体现在教学过程中。另外，函数的表示方法有三种。几何、算术表示和代数都可以转换成数学语言来表示函数。(3)曾国光的研究[10]曾国光(2002)的研究对象是初三学生和高中生，主要研究学生对函数概念理解的认知状况。结果发现，学生对函数概念理解的认知发展过程包括3个阶段：第一阶段在小学时期就有所体现，比如算法中的加减乘除运算，这时候可称为“算式”阶段；第二阶段是在初中时期，这时候的函数已经用字母去代替数字，通过彼此之间的变化体现出来，可称为“变化”阶段；最后一阶段是在高中阶段，这时候的函数概念变得很抽象，通过变量之间的对应来表达，这一阶段称为“对应”[8]朱文芳.初中生函数概念的发展研究[D].中国知网:中国优秀博硕士学位论文全文数据库.上海师范大学：1999.[9]李士绮《数学教育心理》[M].上海:上海教育出版社，1992.[10]曾国光.中学生函数概念认知发展研究[J].数学教育学报，2002,5:99-102.10 高一学生函数概念理解水平的调查研究阶段。(4)陈蓓的研究[11]陈蓓(2005)认为学习应该是学生在自身已有知识的基础上重新建构知识框架的过程，函数的学习也不例外。和曾国光的观点类似，陈蓓认为函数的教学应该建立在实际情境的基础上，让学生亲自体会实际生活中的变化，慢慢地，从具体逐步到抽象，能够更好地完成函数概念的建构。从而能够真正做到理解函数概念的本质。(5)贾玉珠的研究[12]贾玉珠（2004）的研究认为函数概念的建构有六个层次：第一个层次是认识变量；第二个层次是意识到变量的关系；第三个层次是将函数与算式区别开来，函数不等于算是；第四个层次是掌握“对应”的含义；第五个层次是能够从形式上对函数进行描述；最后一个层次是形成函数对象。从目前国内外学者对函数教学研究的文献资料来看，较多的研究试图解释如何让学生更好的建构函数概念的知识以及更好地理解函数概念。但是，对学生对函数概念理解水平的现状探析还仅仅停留在经验层面，缺乏理性认识，对学生的理解水平仍然没有进行深入分析和系统研究。2.3范希尔理论的相关研究范希尔夫妇是荷兰的数学教师，在教学过程中，他们发现教材有关几何方面存在很大问题，无论是教材内容，还是课后习题，都严重超出了学生能够理解的水平。由于这些问题，范希尔夫妇逐渐开始关注有关儿童思维发展的研究，经过长期的理论探索，再加上自身丰富的教学经验，他们提出了儿童几何思维发展的5个水平，并逐步完成了范希尔理论的构建(1957)。2.3.1国外的研究在国外，有很多研究者在教材编写以及教材比较的时候就参考范希尔理论，并且通过范希尔理论进行了这方面的相关研究，并取得了一定的成果。国外学者[11]陈蓓.利用SOLO分类法探究学生函数概念理解水平[J].数学教育学报,2009,4:35-38.[12]贾丕珠.函数学习中的六个认知层次[J].数学教育学报,2004,8:79-81.11 硕士学位论文对范希尔理论的研究成果，主要有以下几个方面：(1)皮什卡罗的研究皮什卡罗（Pyshkalo,1968）是前苏联学者，他用了四年对一到八年级学生所用的学习材料进行分析，利用的就是范希尔理论。他的研究结果表明：（1)从一年级到五年级，很大一部分学生只是对所学的只是有个整体的认识，这相当于范希尔理论的第0水平；（2）学生的的第0水平要持续相当长的时间，直到五年级末的时候，也才只有一小部分的学生开始达到下一个水平；（3）除了平面几何，学生对立体几何的的理解，所要花费的时间更多，基本上到了7年级学生才对立体几何有一定的初步感受；（4）通过让有目的地学习可以迅速的提升学生的思维发展水平，如让学生从2年级开始接触立体，则他们达到的水平会相对于传统的学生高很多。（2）Fuys等人的研究Fuys,Geddes和Tischler是以研究数学教材为主，他们通过利用范希尔理论对美国的三套数学教材进行评价。研究发现：这些教材和范希尔理论对儿童思维发展水平的描述并不是一致的。范希尔理论认为儿童的几何思维发展是逐层递进的，但是这些教材中，范希尔理论的几个水平并不是随着年级的递进而提升，分布比较混乱。这当然并不利于学生后期的几何学习。因此，Fuys,Geddes和Tischler在研究后对教材的编制者提出了一些有效的建议：首先，要将范希尔理论的相关内容在教师用书上明确标注，这样教师在教学开始前就可以对学生思维的水平先进行评估，这样可以在教学过程中，制定有效的教学策略；其次是相应于范希尔理论的水平，在教材习题设计以及作业测验的时候增添相应的内容，以便于学生达到更高的理解水平；最后要注意规范课本的几何语言。（3）维特曼等人的研究维特曼等人（Whitmanetal.,1997）的研究也是针对教材，他们利用范希尔理论，对日本和美国的几何教材进行比较。研究发现，相对而言，日本的教材编写比较符合范希尔理论的几个水平，尤其是在课后习题的编写方面能够较好的反应范希尔理论所提倡的教学序列。而美国的教材编写层次就不够明显，内容也是杂乱无章。这个研究结果和Fuys等人的研究是一致的。2.3.2国内的研究（1）廖婉琦的研究12 高一学生函数概念理解水平的调查研究廖婉琦以范希尔理论为基础，对台湾教材和美国教材进行研究，分别对两地的教材给出了自己的评价。并由此提出自己的教材评价体系。她的研究发现，台湾和美国的教材编排顺序基本上都符合范希尔对儿童几何思维发展水平的研究。但是，又有不同之处。美国的教材更体现学生的认知需求，在规划教材内容的时候更有层次感。（2）林月如的研究林月如以范希尔理论为基础，对大陆、台湾、香港的数学教科书进行分析研究，分别对三地的教材给出了自己的评价，并且提出了自己的教材评价体系。她的研究发现：三地在教材内容的编排上基本都符合范希尔理论对儿童思维能力发展水平的要求，但是各自的侧重点又有所不同。大陆和台湾注重数学知识的整体联系，香港却注重各个部分的细节，内容比较丰富，课后题目也比较有趣味性；另外，从教材的铺陈方式看，台湾的教材编写比较系统，相对成熟，层次感比大陆和香港强。（3）庄月娇的研究和前几个研究者不同，庄月娇对近些年有关教材研究的文献进行分析研究，她对这些文献中所采用的理论基础进行分析，然后在此基础上，提出了自己的教材评价体系，做出来教材评价量表，利用该量表对台湾的许多套教材进行评价。她的研究发现：在台湾现行的各个版本的数学教材中，几何部分所占的比例有很大的差异；在教师用书中，所要求的授课课时也有很大差异；不同版本的教材对不同的数学知识所分配的比例也不相同。（4）大陆的研究大陆了解范希尔理论的时间比较晚，目前对该理论的研究还处于介绍和应用的阶段。如李士镝在分析几何认知的特点时，对范希尔的几何思维发展理论作了详细介绍；章建跃在解释平面几何入门难的问题时，也应用了该理论。从以上很多国内外学者对范希尔理论研究综述可以看出，对范希尔理论的研究，大部分学者是从几何背景出发的，从代数方面开始的研究非常有限。而函数在数学中是属于代数范畴的，因此，利用范希尔理论来研究函数迫不及待。2.4数学概念学习的范希尔理论2.4.1范希尔理论13 硕士学位论文在西方，已经有很多学者研究了对儿童的几何思维特点，在这些研究中，最著称的是范希尔夫妇的研究。范希尔理论提出了儿童几何思维发展要经过6个水平：从水平0到水平5。（1）水平0：也被称之为前认知水平。在这一水平的儿童对几何图形的辨认途径主要是通过其整体轮廓；能够根据自己看到的图形模仿画图；能够用自己的语言区描述几何图形；能够自己动手操作来解决相应的几何问题。但是在这一水平儿童不能对图形的特征进行概括，不能用标准的语言论述其特征。例如：儿童对某个像三角形的图形的描述一般是三明治；但是不能说出该图形的性质。因此，在这以阶段，儿童更多是感受，进行感官上的操作活动，只能从直观方面来描述相应图形某一些特征。（2）水平1：也被称之为直观化水平。到了这一水平，儿童已经能够将图形的组成要素及其特征表达出来；能够通过自己建立起来的这些特性去解决几何问题。但是对于这些特性之间的关系却不能理解；对于图形的定义也无法理解。例如：当儿童面对三角形的时候，会说出它有三条边、三个角，但是并不知道边和角之间的关联性。这一阶段，儿童在视觉上的辨认经验已经有了进一步的发展，能够初步体会到图形的简单特性。（3）水平2：也被称之为描述/分析水平。这一水平，儿童已经能将直观化水平中的问题解决掉，即能够建立起图形之间的特性关系；能对图形所包含的内在属性有进一步的探究；能够通过这些内在的属性对图形的性质进行演绎和推论。但是，不能够理解和图形关联的定理与证明，不能够建立这些定理彼此之间的内在关系。例如：儿童在了解平行四边形的一些性质后，能够根据这些性质推出长方形也是平行四边形。他们还可以根据三角形的内角和是180°推出多边形内角和（n-2）*180°，但是却不知道如何去证明这一结论。也就是说，这一水平的儿童能够对几何图形的性质进行一些归纳和说明，但又不能够对自己的归纳结论作出系统的证明。（4）水平3：也称之为抽象/关联水平。这个水平，儿童已经能够理解和图形相关的定理、公理等的关系；能够了解到和图形性质证明的重要性；不仅仅是从直观角度，开始逐渐接受从逻辑思维推理的角度来建立几何定理；也开始尝试用简单的形式逻辑去证明自己的猜测、去解释自己所建立起来的图形之间的内在属性。例如，面对如何证明两个三角形全等的问题时，儿童能够说出需要证明三14 高一学生函数概念理解水平的调查研究条边都相等或者是两个角和一条边对应相等。在这个阶段，儿童能够对自己面对的几何图形形成抽象的定义，通过图形性质之间的交互联系，对自己获得的有关图形的思想进行逻辑说明。（5）水平4：也称之为形式推理水平。在这一水平，儿童的几何思维又有所发展。除了前一水平所说的意识到逻辑证明的重要性之外，他们已经能够利用自己已有的知识系统严谨地建立定理，从而对不同的几何系统进行分析对比。例如，儿童能够说出欧氏几何系统与非欧氏几何系统不同在哪里。在这个阶段，儿童已经能够了解比较抽象的几何推理，他们甚至可以根据自己已有的知识自创一[13]种几何公设系统。但是，这个水平一般人是达不到的。在这一水平，儿童可以在已有的公理化系统中建立定理，并对建立的定理能进行严谨的形式推理。（6）水平5：也称之为严密性/元数学水平。在这一水平，儿童可以凭借自己的空间想象力，在没有实际的参考模型的情况下，也能在在数学系统中研究不[14]同的几何问题，并能对这些问题进行形式化的操作。尽管范希尔理论研究的6个水平是针对几何而言，但却能够揭示人类认识事物的一般规律。人类对事物的认识，都要经历从特殊到一般，从外到内，从具体到抽象的过程。函数也不例外，人类对函数的认识和理解，同样经历这样的过程。虽然在数学中，函数属于代数范畴，但是函数知识的学习很多时候需要借助函数图像。因而。函数可以说是既有代数的特点，又有几何的特点。数形结合是研究函数的重要的途径之一。因此，将范希尔理论应用于函数的研究是非常有必要的。范希尔理论与函数的有效结合对学生学习函数、教师设计函数教学教学都具有十分重要的意义。类比范希尔理论的6个不同的水平，笔者将学生对函数概念的理解划分为以下6个层次。（1）层次1：对变化的初步感知阶段。这一阶段和范希尔理论中的前认知水平阶段相似。在这一阶段，学生不仅能够感觉到在现实世界中存在着变化，而且能够感受到变化的不同之处，某一些事物在变化的过程中彼此之间具有关联性。例如当学生面对像物体的热量和温度、声音和乐器、行驶的路程和行驶的时间、气候和日期等想象的时候，能够说出他们之间存在着一定的变化，而且有某[13]Burger,W.F.&Shaughnessy,J.M.CharacterizingthevanHielelevelofdevelopmentingeometry[J].JournalofRresearchinMathematicsEducation1,1986.7:31-47.[14]张奠宙,沈文选.中学几何研究[M].北京:高等教育出版社出版:2002.116-117.15 硕士学位论文些事物之间的变化具有关联性，像行驶的路程和时间。处于这一水平的学生，他们的思维只是停留在操作水平，并不具有抽象特点，还不能够把这种运动变化的关系与事物本身区别开来。（2）层次2：对函数表面的理解阶段。这一阶段和范希尔理论中的直观化水平阶段相似。在这一阶段，学生就能够阶段前一阶段不能解决的问题，不仅可以把运动变化的关系和事物本身区别开来，而且在面根据自己的判定建立函数关系。例如，给定学生两个集合，他们能够在两个集合之间建立相对应的函数关系，并对这些函数关系进行说明。（3）层次3：初步地抽象认识阶段。这一阶段和范希尔理论中描述/分析水平阶段相似。在这一阶段，学生不仅仅可以建立函数关系，还可以根据性质来判断函数关系。例如：给定几个函数式子，学生可以判断他们是否可以表示两个集合之间的函数关系。这个时期，学生判断一个对象是否为函数、是否具有函数运动变化的性质的时候，能够借助直观的抽象来完成。他们通常是通过分析一个变量的变化能否引起另一个变量的变化来判断。但是对于这种变化不能够用数学语言进行准确的描述。（4）层次4：对概念之间的联系初步认识阶段。这一阶段和范希尔理论中抽象/关联水平阶段相似。在这一阶段，学生能够通过区别转化事物之间联系的方式来进行思维。例如：学生能够数学的语言准确地将高中函数概念与初中函数概念进行相互转化，并且能够初步揭示出函数的实质。（5）层次5：比较全面地把握概念阶段。这一阶段和范希尔理论中形式推理水平阶段相似。在这一阶段，学生可以将函数概念纳入自己已有的知识结构，当面对其他概念的时候，能够将函数概念和其他概念的区别与联系说出来。例如：学生能够阐述函数、方程、不等式之间的区别与联系。（6）层次6：对概念形式化认识阶段。这一阶段和范希尔理论中严密性/元教学水平阶段相似。在这一阶段，学生对函数概念的理解又达到了新的高度，已经开始具有初步的辫证思维，可以运用函数概念额思想去解决一些简单实际的问题，已经能够将理论运用于实践。例如：学生可以利用函数的思想去解决数学问题。2.4.2将范希尔理论运用于函数教学的意义研究范希尔理论是针对几何学习提出的，函数是几何与代数的整合体，研究函数16 高一学生函数概念理解水平的调查研究的最重要的途径是数形结合。因而，在函数概念的教学过程中，可以有效利用范希尔理论，按照范希尔理论的6个几何思维水平，我们也可以将学生掌握函数也分为6个层次：（1）前认知水平（2）直观化水平（3）描述/分析水平（4）抽象/关联水平（5）形式推理水平（6）严密性/元教学水平，并在此基础上对函数概念教学形成一个相对完整和系统的教学建议。能够使得使学生将从小学到高中的函数学习一体化，对函数概念的学习从知识层面深入到思想层面和人格层面，提升学生数学素养的理念融入函数教学之中。17 硕士学位论文3研究的设计与过程3.1研究整体思路前两章主要介绍选题缘由以及相关的研究文献进行综述，本章将具体阐述研究的设计与展开过程，包括:测试问卷的设计，被试对象的选取，数据的整理与分析，研究结论和研究的局限性。受实际条件的限制，笔者选取的样本均是目的样本。本研究的整个过程分为三个步骤:（1）进行文献分析在研究的初期，笔者通过阅读大量有关函数概念理解情况研究方面的文献及专业书籍，用对比研究法对材料进行整理、分析，为研究问题的提出以及下一步的问卷调查做好前期准备。（2）进行测试问卷调查，研究测试采用问卷调查对某高中三个年级的151名高一学生进行问卷测试，以此来考察高一学生对函数概念的理解水平。（3）对测试的结果进行整理分析，最终得出研究结论本研究的后期主要是对测试问卷的数据结果进行整理和分析，通过对比分析的方法，得到最终结论。由此，本研究按照“问卷设计——选取被试对象——问卷调查一结果分析”这一程序循序渐进。在结果分析阶段，按照总体分析和具体分析，总体分析是从班级和性别两个方面来进行说明，具体分析是在每一个项目水平上，说明不同班级和不同性别的差异性以及各个项目水平的相关性，流程如下：18 高一学生函数概念理解水平的调查研究3.2测试卷设计3.2.1函数概念理解水平测试卷的建构本文主要是进行实证研究，而建立有效的学生函数概念理解水平的测试问卷是本研究的基础。纵观国内外的相关研究，对于函数概念的测试并没有比较公认的测试问卷。因此，笔者通过查找文献和听课、观察、访谈和校内考察，借鉴并改造相关试题，基本上形成既有理论支撑，又具有操作性，可以反映学生实际理解水平的测试问卷，并对其进行预测试及简单检验，再根据测试结果做进一步修改和完善，最终形成定稿。(l)测试卷建立的理论基础——范希尔理论建立学生对函数理解的测量工具的基本依据是国外的研究成果，这样不但可以使测试卷具有较高的起点;而且符合我国学生的实际情况。本测试卷以范希尔理论作为理论基础，以函数思维的认知发展框架为结构基础，从数学教育心理学的角度将函数的理解水平划分为6个水平：前认知水平阶段、直观化水平阶段、描述/分析水平阶段、抽象/关联水平阶段、形式推理水平阶段、严密性/元数学水平阶段共。具体如下表所示：表3.2.1概念理解水平的层次划分水平核心具体体现学生能感觉到现实世前认知水平对变化的初步感知界中存在着的变化，并且在19 硕士学位论文变化中某些事物有关联性。学生不仅可以判断出直观化水平对函数表面的理解变化的存在，而且可以在有现实背景的问题中建立函数关系。学生能利用函数性质对函数关系进行判断。可借描述/分析水平初步地抽象认识助直观的具体的抽象来判断一个对象是不是函数。学生能借助事物之间抽象/关联水平对概念联系的初步认识的联系进行思维，来理解、区别函数概念。学生可以将概念纳入形式推理水平比较全面地把握概念自己的认知结构。学生对函数概念的理解进入形式化阶段，形成初严密性/元数学水平对概念形式化认识步的辫证思维，运用概念解决一些简单问题，可以得出新的概念。（2）测试卷建立的知识基础——理解函数概念的本质函数的本质是非空数集之间的映射，学生对映射知识的掌握是函数知识学习的基础。高一学生在初中阶段已经接触过函数的有关知识，并且在必修一集合一节中对映射知识的学习，有利于学生理解高中阶段更为严格的函数概念。因此，本测试卷以函数概念的本质为基础和出发点，将函数概念的理解水平划分为前认知水平，直观化水平，描述/分析水平，抽象/关联水平,形式推理水平，严密性/元数学水平共6个水平。（3）测试卷建立的目标基础——函数的教育价值20 高一学生函数概念理解水平的调查研究函数使数学从常量研究进入到变量研究，是培养学生辨证思维的重要内容。通过函数的学习，学生的数学思维方式也会和以往有所不同：以往以静止为主，现在趋于运动；以往以离散为主，现在趋于连续；以往以运算为主，现在趋于关系；以往以单一的代数式为主，现在趋于数形结合。因此，函数教育价值的核心在于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。3.2.2对函数概念理解水平测试卷的调查论证对测试问卷的检验是一个重要而复杂的过程，因为测试卷的有效度对测试结[15]果的有效度有直接影响。因此，测试卷初稿设计完成以后，笔者首先邀请大学里从事数学教育研究方面的专家进行指导，然后征求高中数学教师的意见:包括，试题是否清楚，学生能否理解，能否体现笔者研究的目的，按照其建议对测试卷进一步修改。并对测试卷首先作一个小范围的试测。“题目的试验操作提供了鉴[16]别令人迷惑、模糊的术语的机会，并获得有关可能的结果的情况的信息”。笔者对本测试卷的试测首先进行跟班听课活动，了解各个班级的函数概念教学情况以及学生的课堂反应情况、然后进行试测，在实施试测时由任课教师将此次测试的目的以及答题方式与方法和注意事项向学生说明，最后根据试测结果完善测试卷。利用SPSS17.0对试测数据进行统计与分析，测试卷各个水平的信度见表3.2.2。表3.2.2函数理解水平测试卷信度分析结果变量题数信度系数前认知水平10.7612直观化水平10.7913描述/分析水平10.8393抽象/关联水平10.7709形式推理水平10.8013严密性/元数学水平10.7609表3.2.2的数据表明，测试卷信度较高，各个水平的统计指标基本符合要求。[15]朱德全，宋乃庆.现代教育统计与测评技术[M].重庆:西南师范大学出版社，1998:207.[16]威廉.威尔斯曼著，袁振国译.教育研究方法导论[M].北京:教育科学出版社,1997:218.21 硕士学位论文3.3被试的对象受地域条件限制，笔者选择了江西省某高中高一年级学生作为调查研究对象。该所高中创办于1960年，是江西省重点高中、江西省高中新课程实验示范学校。二本上线人数位居全市重点建设中学之首，另外，之所以选取高一学生作为研究对象，主要是因为高一学生已经学习了高中阶段的函数概念，学习压力也比较小，同时高一学生也刚刚经历了初中阶段的学习，在对两种不同的函数概念的理解上更有发言权。本研究所关注的是学生对函数概念的理解。笔者的调查的对象为高一年级3个班级151名学生。他们来自两个不同性质班级：一是重点班；另两个是普通班。高一（7）班为重点班，学生有49名，高一（11）班和高一（12）班为普通班，高一（11）班有学生44名，高一（12）班有学生58名。总计151名。被试学生分布情况见表3.3。表3.3研究对象分布情况（单位：人）班级情况男生人数女生人数总人数高一（7）班252449高一（11）班232144高一（12）班283058合计76751513.4测试卷调查笔者对该校高一年级三个班的学生进行测试卷调查，了解不同班级和不同性别的学生对函数概念的理解。3.4.1实施过程笔者在2013年10月10日至10月28日对这三个个班级的学生发放测试卷并由各班班主任监督考试，时间为30分钟。调查中发放试卷151份，回收有效试卷151份。发出问卷125份，经处理用于数据统计的有效试卷为151份。3.4.2分值分配及评分标准（1）分值分配22 高一学生函数概念理解水平的调查研究本研究的测试问卷共有六道题目，每道题目考察一个项目水平，逐层递进，螺旋上升，具体分值如下表：表3.4.2（1）题号与对应分值（单位：分）题号一二三四五六分值101020202020注：满分为100分（2）评分标准本测试问卷每道题目所考察的对函数概念的理解水平都不一样，根据每道题目的不同，笔者制定了不同的评分标准，具体如下表：表3.4.2（2）评分标准题号评分标准共性：每个现象的两个变量都具有相互依赖关系（5分）；差异性：一第三个小题，时间与路程的值一一对应对应。其他无（5分）。二能够建立8种不同的函数关系（2分）；将8种关系分别写出来(8分)。（1）不能，因为2,3无对应元素（5分）；三（2）不能，因为1,3,4,5无对应元素（5分）；（3）不能，因为集合A均无对应元素（5分）；（4）能，因为对于集合A中的任意一个元素在集合B中都有唯一的元素与之对应（5分）。初中函数概念转化为高中：一般地，设集合A中的变量x和集合B中四的变量y。如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就称这种对应f：A到B，为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x)，x属于A（10分）；高中函数概念转化为初中：设A,B是非空的数集，如果集合B中的元素y随着集合A中元素x的变化而变化，那么就说y是x的函数，x叫做自变量,y叫因变量（10分）。相同：(1)都是通过式子来表示：函数式、方程式、不等式；(2)包2五含相似的代数式：ax+bx+c；(3)代数式中所含有的未知数都是一元；23 硕士学位论文(4)代数式中未知数的最高次数都是二次（8分）；区别：(1)所属的概念范畴不同：分别是函数、方程、不等式；(2)代数式的含义不同：二次函数中，代数式表示因变量y；一元二次方程中，代数式表示零；一元二次不等式的代数式表示不等于零；(3)图像不同：二次函数是一条抛物线；一元二次方程是坐标轴上的点；一元二次不等式是线段或射线（6分）；联系：(1)一元二次方程是学习二次函数以及一元二次不等式的基2础；(2)二次函数y=ax+bx+c的y=0时，就等同于一元二次方程22ax+bx+c=0，一元二次不等式ax+bx+c>0的不等号变为等号，则原22式变为一元二次方程ax+bx+c=0；(3)二次函数y=ax+bx+c抛物线与x轴的两交点的横坐标x,x(x0解集是：xx；对于ax+bx+c<0，12解集是：x0时，x≥−，函数在区间(−∞,1]上有意义，a不存在（6分）；a1a<0时，x≤−，函数在区间(−∞,1]上有意义，得a≥−1（8分）；a综合上面的情况a∈[−1,+∞)（2分）。3.5函数概念理解水平划分本测试卷充分考虑到高中阶段函数的教学目标，在试题设计时把函数概念的理解和应用作为考察重点。笔者编制了六道不同类型的题目．第一道题目是了解学生对变化的初步感知，为给定6组不同的现象，写出这6种现象的共性和差异性。第二道题目是了解学生对函数表面的理解程度，为给定任意两个集合，建立两个集合之间的函数关系。第三道题目是了解学生对函数的初步抽象认识，为给定4个映射，判断能否表示出相应的函数关系。第四道题目是了解学生对函数概念之间联系的初步认识，为用自己的语言对高中函数概念和初中函数概念进行相互转化。第五道题目是了解学生是否比较全面地把握函数概念，为写出与其它概24 高一学生函数概念理解水平的调查研究念的区别和联系（方程、不等式）。第六道题目是了解学生能否对函数概念形式化认识，为利用函数概念解数学题。每个阶段包含题目以及题目数量如下表所示：表3.5函数概念理解水平划分情况阶段名称包含题目题目数量前认知水平第一题1直观化水平第二题1描述/分析水平第三题1抽象/关联水平第四题1形式推理水平第五题1严密性/元数学水平第六题125 硕士学位论文4本研究的调查结果与数据分析本研究的调查结果用Exc1e和SPSS17.0进行统计分析，依据范希尔理论对相关数据进行处理。4.1总体情况对总体情况的分析，分别从所有学生的总体得分情况、不同班级的总体得分情况、不同性别的总体得分情况几个方面进行数据分析。4.1.1总体得分情况对151份有效问卷的总体得分情况进行分析，得到以下图表：从以上图表可以看出，本研究样本的平均分是42.07，标准差是15.111，总成绩基本符合标准正态分布。这说明本研究达到了预期的目标。下面分别对不同班级和不同性别的情况进行数据分析和说明。4.1.2不同班级总体得分情况笔者运用spss分别对三个班级的总体平均得分结果进行数据分析，具体如下表：表4.1.2不同班级总体平均得分情况总分班级名称均值N标准差26 高一学生函数概念理解水平的调查研究高一（7）班55.27499.838高一（11）班32.914414.499高一（12）班37.885811.336总计42.0715115.111根据以上数据统计结果，可以看出在函数概念理解水平上，重点班学生的理解能力整体上好于普通班学生。由于重点班的学生的基础知识相对于普通班学生来说要扎实一些，所以在函数概念的理解水平上，整体理解程度要高。4.1.3不同性别总体得分情况表4.1.3不同性别总体平均得分情况总分性别均值N标准差未知46.091116.380男40.557115.855女43.006914.127总计42.0715115.11127 硕士学位论文根据以上数据可以看出女生所表现出来的函数概念理解能力总体上优于男生。函数概念在数学中属于代数范畴，中所周知，在中学阶段，相对来说，女生的基础知识比男生要扎实，学习态度比男生要认真，学习动机比男生要强烈，所以女生的函数概念理解能力比男生要好一些。4.2函数概念理解在各水平得分情况4.2.1不同班级在各水平上得分情况表4.2.1不同班级的情况（平均分比较）：均值高一（7）班高一（11）高一（12）班调查内容题目数量（49人）班（44人）（58人）前认知水平17.144.773.79直观化水平17.945.896.14描述/分析水平119.2912.1117.76抽象/关联水平19.493.483.10形式推理水平16.374.234.16严密性/元数学水平14.532.612.9528 高一学生函数概念理解水平的调查研究以上数据说明：（1）在函数概念理解水平上，大部分学生达到描述/分析水平，很少的学生达到抽严密性/元数学水平，一部分学生达到形式推理水平；（2）在函数概念理解的各个水平，重点班的学生的认知程度整体上优于普通班学生；（3）重点班在抽象/关联水平上要高于形式推理水平，而普通班的抽象/关联水平要低于形式推理水平；（4）无论是重点班还是普通班，随着理解水平的提高，分值在降低。对于这种现象产生的原因，笔者认为：根据第二章对范希尔理论的分析，描述/分析水平要求学生能够初步地抽象认识函数，这正是高中阶段初期学生应该达到的要求，形式推理水平和严密性/元数学水平属于更高阶段学生的学习要求，由于被试的对象是重点高中高一学生，所以在理解水平上，大部分学生达到描述/分析水平，很少的学生达到抽严密性/元数学水平，一部分学生达到形式推理水平；另外，重点班的学生在基础知识方面要高于普通班学生，学习的层次性也比较分明，所以重点班的学生的认知程度整体上优于普通班学生，重点班在抽象/关联水平上要高于形式推理水平，而普通班的抽象/关联水平要低于形式推理水平；随着理解水平的提高，对学生的要求也越来越高，所以，无论是重点班还是普通班，随着理解水平的提高，分值在降低。4.2.2不同性别在各个水平上得分情况表4.2.2不同性别的情况（平均分比较）：均值调查内容题目数量男生女生前认知水平15.355.0729 硕士学位论文直观化水平16.656.67描述/分析水平115.8517.30抽象/关联水平15.015.25形式推理水平14.285.41严密性/元数学水平13.233.26以上数据说明，虽然性别不同，但男生和女生在函数概念各个水平上的的认知程度并无太大差异。前面的数据表明在整体认知水平上，女生要优于男生，但是在各个理解水平上，由于每个水平都分别对应不同的学段，因此，男女并无太大差异。4.3函数概念理解各水平的相关性以上两部分分别对学生对函数概念理解水平的总体和具体进行分析，并分别从班级和性别两方面进行差异性分析，那么对于各个理解水平来说，自身的相关性如何，彼此之间的相关性又如何，对上一水平的理解是否会影响到下一个水平的理解。接下来笔者将对各个项目水平之间的相关性进行分析，具体结果见下表：30 高一学生函数概念理解水平的调查研究表4.3各个水平的相关性分析相关性题目1题目2题目3题目4题目5题目6*题目1Pearson相关性1-.106-.024-.035-.060.176显著性（双侧）.197.766.670.464.031N151151151151151151***题目2Pearson相关性-.1061.003.260.177.110显著性（双侧）.197.968.001.030.180N151151151151151151******题目3Pearson相关性-.024.0031.214.268.225显著性（双侧）.766.968.008.001.005N151151151151151151********题目4Pearson相关性-.035.260.2141.392.217显著性（双侧）.670.001.008.000.007N151151151151151151*******题目5Pearson相关性-.060.177.268.3921.336显著性（双侧）.464.030.001.000.000N151151151151151151*******题目6Pearson相关性.176.110.225.217.3361显著性（双侧）.031.180.005.007.000N151151151151151151*.在0.05水平（双侧）上显著相关。**.在.01水平（双侧）上显著相关。由表4.3中的数据“1”较容易看出各个水平与其自身具有完全的正向线性关系；而各个水平之间存在着显著的相关关系。31 硕士学位论文5研究结论与教学建议根据前一章调查的数据，结合范希尔理论以及我国中学数学课堂教学的实际，笔者初步得出以下结论：（1）学生在函数概念的理解过程中，根据范希尔理论，大部分学生达到描述/分析水平，很少的学生达到严密性/元数学水平，一部分学生达到形式推理水平。（2）在函数概念的理解的各水平，重点班的理解程度整体上好于普通班。（3）重点班在抽象/关联水平上要高于形式推理水平，而普通班的抽象/关联水平要低于形式推理水平。（4）无论是重点班还是普通班，随着理解水平的提高，分值在降低。（5）虽然在函数概念的总体认知上来说，女生要优于男生，但在其各个水平上，男生和女生并无太大差异。为更好地了解学生对函数概念理解的程度，这一章笔者将从六个水平逐一分析学生的理解程度。5.1研究结论5.1.1前认知水平表5.1.1学生前认知水平平均得分情况报告题目1班级名称均值N标准差高一（7）班7.14494.564高一（11）班4.77445.053高一（12）班3.79584.895总计5.171515.014注：满分为10分本测试卷的第一道题目给定6组不同的现象，要求学生写出这6种现象的共性和差异性，了解学生对变化的初步感知。以此来考察学生的前认知水平状况。从以上表5.1.1的统计结果可以看出，三个班级的学生基本都能够达到前认知水平，重点班优于普通班，普通班的答题情况有着相近的平均分和正确率，看不出它们之间的显著性差异。但学生的得分率却普遍偏低。对于以上结论产生的原因笔者认为：32 高一学生函数概念理解水平的调查研究（1）前认知水平的知识是在小学和初中的课程中体现，而小学和初中是函数概念的渗透阶段和初步形成阶段，这对于重点高中的学生来说自然不是难事。小学阶段是函数概念的渗透阶段，这个阶段主要是在函数概念引入之前，培养其函数思想，完成函数的相关知识经验的积累。使学生产生“对应”和“变化”的观念。在这一阶段中，课本中的许多数学公式表示的量与量的关系实质上在一定条件下都是一种函数关系，甚至算术运算中的加减乘除运算之间的相互关系也是一种“对应”和“变化”思想，这些思想都可以使学生无意识地初步地感受函数的“对应”和“变化”。初中阶段是函数概念的初步形成阶段，学生通过这一阶段的学习能够形成和掌握函数的直观定义，对于函数“对应”和“变化”思想有更加直观的体会。另外，初中课本中的一次函数、反比例函数、二次函数等下位概念的学能够有效促进学生对函数概念的理解。（2）从测试卷的作答结果看得分率偏低主要在于学生在作答与函数概念有关的生活例子时候得分不高。不同班级的学生对测试卷的作答结果都显示学生对具有解析式的函数非常熟悉，而当函数关系不是很直接明了或者是以一个生活现象出现时，学生给出的答案就五花八门力不从心。这些充分说明学生不能真正理解函数概念，或者对函数概念只是作为一个识记内容。造成这样结果的原因很多，可能因为在函数概念的教学过程中，老师已经向学生明确了函数的形式化定义，学生很少或者根本没有自己体验然后得出函数概念的过程。以至于在学生面对实际情境的自变量和因变量的时候，不能清楚的分辨。5.1.2直观化水平5.1.2学生直观化水平平均得分情况报告题目2班级名称均值N标准差高一（7）班7.94493.294高一（11）班5.89444.895高一（12）班6.14583.517总计6.651513.982注：满分为10分33 硕士学位论文本测试卷的第二道题目是给定任意两个集合A、B，建立从A到B的函数关系，了解学生对函数表面的理解程度，以此来考察学生的直观化水平。以上数据表明学生函数的理解程度基本上都可以达到直观化水平。在测试卷调查中，笔者通过让学生构造两个集合之间不同的函数关系从而考察学生对函数概念的理解程度。如果学生不仅能够说出有多少种不同的函数关系，而且又能够分别写出这些函数关系，就能说明学生对函数概念的理解程度较好地达到了直观化水平。测试卷的调查结果表明大部分学生能够说明这两个集合直接有多少种不同的函数关系，但是对怎么样构造这些函数关系，却有一部分学生没有答出来，还有一部分学生虽然构造出了不同的函数关系，但有很多是错误的。这说明学生对函数各种表征方式之间联系的理解还是模糊不清，这些关系在学生大脑中还是孤立存在的，学生并没有找到其隐含的共同本质。对于以上结论产生的原因笔者认为：（1）经过新课程改革理念的倡导，如今教师在数学概念的教学内容设置上有了很大的改善，很多教师已经学会引导学生从现实生活中的实际情境出发，让学生通过实际情境自己体验，从而提炼出数学概念。然而问题也在于此，很多教师以为创设情境就够了，却不顾及创设情境之后学生是否真正能够自己来解决问题并提炼出相应的数学概念，有的教师甚至代替学生直接给出概念。这样教学所形成的数学概念侧重点仍旧为学生解题服务，而学生对概念的理解往往似是而非。（2）在考试成绩和教学任务的双重压力下，很多教师觉得概念的理解并不重要，他们更多是希望通过课后习题的操练来帮助加深学生对概念的理解，这样做虽然导致学生学业压力大，对学习产生反感，却对概念感到说不清，道不明。5.1.3描述/分析水平表5.1.3学生描述/分析水平平均得分情况报告题目3班级名称均值N标准差高一（7）班19.29492.88734 高一学生函数概念理解水平的调查研究高一（11）班12.11447.998高一（12）班17.76585.059总计16.611516.285注：满分为20分本测试卷的第三道题目是给定四个明确的函数表达式，让学生判断他们是否都能表示给定的两个集合之间相应的函数关系，了解学生对函数的初步抽象认识，以此来考察学生对函数概念理解程度的描述/分析水平。通过以上数据统计结果可以看到，学生的描述/分析水平能力有所增长，并且存在着显著差异。重点班的描述/分析水平仍然高于普通班，而两个普通班的水平之间也存在显著差异。对于以上结论产生的原因笔者认为：（1）学生在这一水平的得分比较高，特别是重点班的学生，不但能够说明是否能够建立，而且对于为什么能够建立也给出了很好的解释。这可能由于学生在学习函数的过程中，对函数印象最深刻的还是函数解析式。学生往往觉得用解析式表示函数更有代表性，加上平时教师在教学过程中通过习题以及其他方式的强加训练，学生对解析式的掌握还是比较好的。（2）虽然学生在这一水平的得分有所增长，但是两个普通班之间还是存在明显差异。造成这一现象的主要原因可能取决于学生原有的学习经验不同，加之不同的思维方法，将不知不觉地限制对函数概念的理解。5.1.4抽象/关联水平表5.1.4学生抽象/关联水平平均得分情况报告题目4班级名称均值N标准差高一（7）班9.49493.571高一（11）班3.48444.454高一（12）班3.10585.366总计5.281515.412注：满分为20分35 硕士学位论文本测试卷的第四道题目是要求学生用自己的语言分别将初中函数概念与高中函数概念进行相互转化，了解学生对函数概念之间联系的初步认识，以此来考察学生对函数概念理解的第四个水平。从数据统计的结果可以看出学生在抽象/关联水平的得分比较低，只有少部分学生达到了抽象/关联水平。学生在这部分的能力相对较弱，这也从侧面反映出学生在函数概念的理解方面的一个共同问题：擅长“做”，却不擅长“说”。很多学生在面对一些和函数有关的知识点题目时候能够做出来，然而却不能用语言说出相对应的知识点的含义。对于以上结论产生的原因，笔者认为：在高考指挥棒下，很多教师在数学教学过程中还是采取“题海战术”的教学方法，通过繁多的习题训练来达到提高学生成绩的目的，同样很多学生在学习函数的过程中为了提高成绩，达到考试的要求，只是纯粹的学习了相应的解题的方法，而对于题目所涉及的相应概念并没有真正理解。5.1.5形式推理水平表5.1.5学生形式推理水平平均得分情况报告题目5班级名称均值N标准差高一（7）班6.37492.167高一（11）班4.23443.284高一（12）班4.16583.622总计4.891513.260注：满分为20分本测试卷的第五道题目是要求学生写出函数概念与其它概念的区别和联系（方程、不等式），了解学生是否比较全面地把握函数概念，以此来考察学生的形式推理水平状况。从以上数据的统计结果看，学生在这一水平的水平得分比较低。从测试卷作答情况看学生基本可以写出函数与方程、不等式的共同点，但对于其不同的地方却很难写清楚。对于以上结论产生的原因，笔者认为：36 高一学生函数概念理解水平的调查研究（1）方程与不等式在初中课程中就已经涉及到了，初中的教学进度相对高中来说比较慢，教师在讲授这些内容时对于概念的讲解有充裕的时间，因此教师讲得细，学生学的也踏实，除此之外，通过大量的课堂内、外习题反复练习，因此，学生对函数与方程、不等式的相同点都比较熟悉。（2）学生对二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的区别得分较低，这是由于初中阶段教师对各个知识点都讲解的非常详细，归纳总结的也非常全面，学生在面对考试时候只需要识记平时课堂上熟悉的题型，运用教师讲过的方法依葫芦画瓢即可；而高中阶段要学习的内容加深，范围加大，各种题型变化莫测，这就要求学生学会独立思考，学会自己归纳总结。但学生在初中阶段已经习惯了教师的填鸭式教学，对学习没有主动性，做不到触类旁通，举一反三。5.1.6严密性/元数学水平表5.1.6学生严密性/元数学水平平均得分情况报告题目6班级名称均值N标准差高一（7）班4.53495.428高一（11）班2.61443.623高一（12）班2.95582.868总计3.361514.122注：满分为20分本测试卷的第六道题目是要求学生利用函数概念去解数学题，通过解体情况来考察学生是否对函数概念形成形式化认识，以此来判断学生的严密性/元数学水平状况。通过以上数据统计结果可以看出只有很少一部分学生能够达到严密性/元数学水平。对于以上结论产生的原因，笔者认为：初中阶段函数概念的学习是很直观的，除了y与x之外几乎没涉及特别的符号表示。而且对于这两个字母，每一个字母都有明确的含义：y表示因变量，x表示自变量。对于y与x之间的对应关系也有具体的内容。但到了高中阶段，对于y与x的抽象性大大增加，他们之间的对37 硕士学位论文应关系f，更是让学生难以理解。这样即使学生学习了相应的函数概念，能够背诵，但是对于其真实的含义并不清楚，对函数概念不清楚，对于二次函数的学习就可想而知。这就导致了学生难以表达出这三者之间的区别。5.2对函数概念教学建议教师是函数概念教学的关键，在教学中教师要认真研究教材，努力改进教学方法，结合课堂实际情况，制定出相应的教学策略以帮助学生更好的理解函数概念。在初中阶段，函数概念的内容简单、直观、具体。而高中阶段，函数概念内容复杂、抽象、形式化，与之相关的内容也增多。在我国的高中数学教学中，教师仍然以讲授为主，但是一味的"填鸭式"的教学肯定会使学生对数学失去兴趣。因此在高一的函数教学中，要注意放低起点，扎实教好课本基础知识，应保证学生在课堂上的主体地位，加强师生之间的互动，进行启发式教学。针对高一数学教学“开头难”的特点，适当的调节教学进度和深度，让学生能够更好的适应高中数学教学。下面笔者以实际教学中的案例来进行说明：x例：已知函数f(3)的定义域为[-1,2]，试求函数f(logx)的定义域。3x分析：本题体现了函数的代换思想，学生在理解上会有许多偏差，①对f(3)x的定义域理解不清，会认为-1≤3≤2，那么-1≤logx≤2，从而得函数f(logx)33⎡1⎤1x的定义域为,9；②也有学生认为≤3≤9，就认为函数f(logx)的定义域为⎢⎥2⎣3⎦3⎡1⎤,9。造成这些错误的原因是学生没有理解函数定义域中的自变量。为了使学⎢⎥⎣3⎦x生更容易理解自变量的变换过程，我们可以分以下两步解题：①设t=3，即先1x⎡1⎤求f(t)的定义域，由x∈[]−1,2得≤3≤9，也就是函数f(t)的定义域为,9；⎢⎥3⎣3⎦②求函数f(logx)的定义域，在这里要向学生讲明函数的对应法则并没有改变，31只是用logx代换了自变量t，接下来就不难理解用式子≤logx≤9去求x的范3333围，就得到函数f(logx)的定义域为x∈[3,729]。3上述教学设计层层递进，既能提高教学效率，又能降低学生思维的难度，可38 高一学生函数概念理解水平的调查研究以更好的调动学生学习的积极性。5.2.1教师教学方面的建议根据范希尔理论，函数概念形成的六个水平是逐步升级的，具有相互依赖的特点，前一阶段的学习情况会直接影响后一阶段的学习，因次，在教学过程中，教师应该注意数学知识之间的连续性，注重不同阶段之间的过渡，使学生的数学知识形成一个数学系统。但是真正的课堂就像章建跃所说的，数学课堂仍然维持着一直以来的传统，却依旧只是将数学局限于数学知识之内，对数学的应用并没有回归其原本的位置。一方面，教师不熟悉所教知识可以在哪些方面得到应用，另一方面，在升学的重大压力下，教师也不敢去“冒险”把宝贵的时间浪费在“数学以外”的活动[17]上。当然解题训练也不失为一种教学方法，学生通过解题训练，不但可以熟悉解题的技巧和方法，而且通过解题时候的运算、提高自己的数学思维能力，达到完[18]善概念的目的。例如李士锜在“熟能生巧吗”指出：“一方面，许多优等生勤奋努力的经验，以及我国、日本等东亚地区在多次国际性评估中成绩名列前茅的事实可以从正面肯定我们的传统做法：大量数学习题训练和经常性测验考试是提高学生成绩的有效途径；另一方面，大运动量训练的‘题海战术’使学生和教师的负担不堪忍受，表现出效率低下，抑制学生的创造性和积极性的弊端。”因此，如果想通过解题训练培养学生自主学习的能力，一定要打破教师一讲到底的传统，留出一定的时间让学生参与讨论，加强衔接教学，逐步培养学生的数学思维能力及数学思想和方法。下面笔者就函数教学中可能遇到的一些实际问题来谈谈：2例题：已知关于x的二次方程axax−+=10()nN∈的两根为α,β，满足nn−1⎧2⎫6263α−+=αββ，且a=1，试用a表示a，并求证⎨a−⎬为等比数列。1nn+1n⎩⎭311分析：此题可以得出：632aa=+，从而aa=+，将其变形为nn+1nn+123[17]章建跃，郭丽华.建构观下的数学教学[J].数学通报，2000(6):12-14.[18]李士锜.熟能生巧吗[J].数学教育学报,1996,5(3):46-50.39 硕士学位论文212⎧⎫2aa−=()−，从而，⎨⎬a−为等比数列。（还可以通过变量代换的方式nn+1n323⎩⎭3获得证明。）教师在教学的过程中可以从两个方面来进行说明：（1）常数的变化引起的变化特点11111aa=+对应的一般函数为yx=+，aa=对应的一般函数为nn+1nn+1232321yx=，两个函数中变量的比率关系没有改变，只是常数项有所改变，并不影2响函数的基本性质。不影响数列的“等比性”，只是形式的改变。（2）如何处理常数项引起的变化常数项引起的变化从函数关系来说就是坐标的平移，也就是变量的变化过程为变量增加了一个常数，内在关系没有改变（也就是公比没有改变），于是就可以设变化后的数列为{b}，于是bq=b，且bak=+，即abk=−，代入nnn+1nnnnaq=+aA可以确定常数k的值。nn+1以上是以数列的教学为例来进行说明，这样的教学设计过程，能够有效地将函数知识和学生已有的其他知识联系起来，使学生意识到自己所学到的知识与函数思想是有密切联系的。除了数列，解析几何、方程、不等式等等的教学都可以采取这样的方式。所以在教学中，教师首先应明确自己所教概念处于哪一层次，在教学过程中注意把握概念的层次，引导学生理解函数概念的本质，以达到逐步地培养学生函数思想的目的，以后随着知识的加深能拓广自己对概念的理解和体会。张景中先生主张，函数观念的培养在小学就应该开始了。因为按照范希尔理论，对函数概念的初步感知阶段就是在小学阶段,也就是范希尔理论中的0水平阶段。在这个阶段的教学过程中，如果教师能够将变量和函数的思想有效地融入到自己的课堂中，潜移默化的影响学生，那么将会非常有益于学生数学素质的[19]发展。对学生进入中学阶段，更好地理解函数的概念也十分有利。所以，教师应该在教学过程中明确自己的学生处于何种理解水平，并依照这个基础采取有效的教学策略，引导学生顺利过渡到更高的阶段。[19]曾国光.学生函数概念认知发展研究[J].天津：数学教育学报,2002,n(2);99-102.40 高一学生函数概念理解水平的调查研究5.2.2学生学习方面的建议在我国，考察学生学习与否的唯一指标就是考试成绩的高低，以此学生在学习数学的时候，教师总是希望通过做大量的习题提高他们的解题技巧，从而达到取得优异成绩的目的。但是成绩的高低并不一定代表学生理解了所学内容的实质，很多学生也许能够熟练地解答题目，但是对于所学知识所包含的思想方法根本就是一知半解。张奠宙先生曾经在文章中指出，东数学教育和西方数学教育有一个很大的区别：西方人的教育以理解为主，要求“理解、理解、理解”；东方[20]人的教育讲究实用，因此要求“练习、练习、练习”。本研究对学生函数概念理解水平的调查也能够从一个侧面也反映了这个问题。从测试卷学生回答的情况看。学生形式推理水平分值均高于抽象/关联水平的分值，这说明学生习惯于平[21]时考试的要求，他们的对函数概念的理解仍然不成熟，还是以局部的、静止的、不连续的眼光看问题，不懂得将抽象的概念与具体的实例联系起来，不能够用辨证思维的方式来理解函数概念，当然也不能理解函数概念的运动、变化、联系的思想。下面笔者以对数函数的运算法则为例来进行说明：例题：证明logM+logN=logMN（a>0，a≠1，M>0，N>0）aaa分析：由log2+log2=4=log4可直接向学生提出疑问：若a>0，a≠1，222M>0，N>0，logM+logN=log(M+N)是否成立？aaa由学生讨论并举出实例(如可以举log2+log16=1+4=5而22log(2+16)=log18≠5)说明其不成立，教师在肯定结论的正确性的同时再提出22logM+logN=?可提示学生利用刚才的例子，把4改写成2*2应为aalog2+log2=log2×2，又log2+log16=5=log32=log2×16，之后让学2222222生大胆说出发现有什么规律?由学生回答应有logM+logN=logMN成立．aaa现在它只是一个猜想，要保证其对任意M,N都成立，需要给出相应的证明，[20]张奠宙.数学教育经纬[M]．南京：江苏教育出版社，2003．[21]孟玲.应用认知学习理论知道函数概念教学的几点认识[J].山东教育.2006,25.41 硕士学位论文怎么证呢?pq证明：设logM=p,logN=q则a=M,a=Naapqp+q由指数运算法则得aa=a=MN∴logMN=p+qa即logM+logN=logMNaaa以上教学案例就是要求学生能够从变化的角度出发，把形式的认识从感性阶段上升到理性阶段，再根据从特殊到一般的数学规律归纳出法则，最后利用指数式与对数式之间的关系完成法则的证明。因此，学生要提高对函数概念的理解水平，就必须准确把握、认真分析自己对函数概念的掌握程度、形成良好的学习习惯，深入分析自己原有的知识体系，寻求“最近发展区”等。由“最近发展区”展开学习，才能尽快提高自己对函数概念的理解水平，同时适应高中其他新知识，提高自己的数学素养，实现对函数概念理解的“螺旋式上升”。为下一阶段的学习打好基础。5.2.3中学数学课程方面的建议数学教育的研究内容要求对于代数内容应以研究函数为中心，而不是以原来[22]的解方程为中心。对于刚入高中的学生来说，函数概念很难理解，相对初中来说，高中数学教材对函数概念的定义是抽象的。函数本身又包含很多的层次和相关的下属概念，这样以来，函数概念的确可以说是中学数学中最难的概念之一。[23]在我国现行的人教版高中数学教材必修一中，对于函数的概念是这样定义的：“我们在初中已经学了函数概念，它是这样叙述的：设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。”接着举了两个简单的例子，然后就写道：“从上可以看到，函数实际上就是自变量x的集合到函数值y的集合的一种对应关系。”其实，学生受本身的知识结构和理解能力的限制，并不清楚教材中对于对应关系的描述，对定义域和值域的概念更是稀里糊涂。而这一阶段的学习恰恰又是函数概念由变量定义到对应定义的关键阶段。因此，在教授函数概念的过程中，应该以和[22]张奠宙,张广祥.中学代数研究[M].北京:高等教育出版社,2006.[23][美]克莱因.古今数学思想（第一卷）[M].上海:上海科技出版社,1979.42 高一学生函数概念理解水平的调查研究学生生活相关的内容作为教学的素材，注重和日常生活的联系，使学生能切实体会到现实中的函数变化思想。另外，函数的思想在小学阶段就应该注重培养，但是在我国的数学课程标准里，对函数概念的要求只针对初中和高中，对小学阶段并没有函数概念的要求。而在美国的课程标准里，对函数概念的要求从学前就开始了，一直持续到高中阶段，并且要求学校教育的目的是能够帮助学生学习各种类型的函数；了解函数的[24]多种表征方式；使学生能深刻理解函数概念的本质。可见，在不同的学习阶段，学生对函数理解程度的要求也是不同的，这是一个循序渐进的过程。[24]NCTM，蔡金法译.美国学校数学教育的原则和标准[S].北京:人民教育出版社，2004.43 硕士学位论文结束语本研究主要依据范希尔理论，以江西某高中高一年级的一个三个班级作为为调查对象，分别对学生函数概念理解的总体水平以及六个水平逐个研究，并且从班级角度和性别角度对三个班级之间的的差异性做了相关研究。受实际调查条件的限制，本研究的的被试对象只选取了该高中高一年级的三个班级，因此，本研究并不能完全表明江西地区所有高一学生对函数概念理解水平的实际情况。这仅仅是一个开端,还有待于进一步的深入探究。如果条件允许，笔者期望能再进一步研究与其性质的中学或者不同年级的高中生对函数概念的理解状况，这样，能够在一定程度上帮助学生学习函数概念，也能为高中数学教师在函数概念的教学过程中改善自己的教学策略提供一定的理论数据。44 高一学生函数概念理解水平的调查研究参考文献[l]李士铸.数学教育心理[M].上海:华东师范大学出版社，2001:64一72.[2]CooneyTJ,WilsonMR.Teachers'ThinkingaboutFunctions:HistoricalandResearchPerspectives[A].In:RombergTA.IntegratingResearchontheGraphicalRe-presentationofFunction[C].Hillsdale:LawrenceErlbaumAssociationPublishers,1993.[3]PonteJP.TheHistoryofConceptofFunctionandSomeEducationalImplications[J].MathematicsEducator,1993,3(2):32.[4]李彦.《普通高中课程标准试验教科书(必修)数学1(A版)中函数概念的教学分析与建议》.[5]克莱因.《古今数学思想》[M].上海:上海科技出版社，1979.[6]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（实验）[M].北京:人民教育出版社,2010.[7]Vinner,SandDreyfus.Imagesanddefinitionfortheconceptoffunction，JournalforResearchinMathematicsEducation1989,20(4):356-366.[8]朱文芳.初中生函数概念的发展研究[D].中国知网:中国优秀博硕士学位论文全文数据库.上海师范大学：1999.[9]李士绮《数学教育心理》[M].上海:上海教育出版社，1992.[10]曾国光.中学生函数概念认知发展研究[J].数学教育学报，2002,5:99-102.[11]陈蓓.利用SOLO分类法探究学生函数概念理解水平[J].数学教育学报,2009,4:35-38.[12]贾丕珠.函数学习中的六个认知层次[J].数学教育学报,2004,8:79-81.[13]Burger,W.F.&Shaughnessy,J.M.CharacterizingthevanHielelevelofdevelopmentingeometry[J].JournalofRresearchinMathematicsEducation1,1986.7:31-47.[14]张奠宙,沈文选.中学几何研究[M].北京:高等教育出版社出版:2002.116-117.45 硕士学位论文[15]朱德全，宋乃庆.现代教育统计与测评技术[M].重庆:西南师范大学出版社，1998:207.[16]威廉.威尔斯曼著，袁振国译.教育研究方法导论[M].北京:教育科学出版社,1997:218.[17]章建跃，郭丽华.建构观下的数学教学[J].数学通报，2000(6):12-14.[18]李士锜.熟能生巧吗[J].数学教育学报,1996,5(3):46-50.[19]曾国光.学生函数概念认知发展研究[J].天津：数学教育学报,2002,n(2);99-102.[20]张奠宙.数学教育经纬[M]．南京：江苏教育出版社，2003．[21]孟玲.应用认知学习理论知道函数概念教学的几点认识[J].山东教育.2006,25.[22]张奠宙,张广祥.中学代数研究[M].北京:高等教育出版社,2006.[23][美]克莱因.古今数学思想（第一卷）[M].上海:上海科技出版社,1979.[24]NCTM，蔡金法译.美国学校数学教育的原则和标准[S].北京:人民教育出版社，2004.46 高一学生函数概念理解水平的调查研究附录调查问卷亲爱的同学：你好！非常感谢你能抽出时间填写这份问卷！首先请你填写基本情况，然后仔细阅读第二部分的测试卷，不要遗漏任何题目。本调查只作为研究之用，我们将对你的信息进行保密。谢谢你的参与！第一部分：基本情况学校：班级：性别：第二部分：测试卷（要求写出解题过程，我们将按步骤打分，请尽量不要留空白卷）一、请说出下列现象的共性和差异性（1）物体的热量与温度（2）声音与乐器（3）行驶的路程与时间（4）气候与日期（5）人的脑重和体重（6）亮度和视觉二、集合A中有3个元素，集合B中有2个元素，从集合A到集合B可以建立多少个不同的函数关系？分别是什么？三、下列对应法则中，能否建立从集合A={1,2,3,4,5}到集合B={0,3,8,15,24}的函数关系，分别说明为什么？2222（1）f:x→x−x（2）f:x→x+(x−1)（3）f:x→x+1（4）f:x→x−147 硕士学位论文四、请用自己的语言分别将初中函数概念与高中函数概念进行相互转化。初中函数:一般地，设在某变化过程中有两个变量x,y。如果对于x在某一范围内的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与它对应，那么就说y是x的函数，x叫做自变量,y叫因变量。高中函数：设A,B是非空的数集，如果按某个确定的关系f，是对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)与它对应，那么就称f：A到B为从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f(x)，x属于A。五、阐述二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的联系与区别48 高一学生函数概念理解水平的调查研究六、函数y=ax+1在(−∞,1]上有意义，求a的取值范围。49 硕士学位论文致谢从收集文献、设计问卷、数据分析到最终成文，我经历了一年多的时间。在这期间的每一个阶段，我都有不同的收获，感触很深。在本科阶段我的毕业论文就是和函数相关的，有幸在硕士阶段仍然继续函数概念的研究，这是我初步进入了数学教育的学术研究。在此，我首先要感谢我的导师刘咏梅老师，这篇学位论文从开始到完成的每一个阶段，都离不开导师的悉心指导！在三年的研究生生涯中，恩师有太多值得我学习的地方，不但有专业的学术知识、对学术研究的研究态度，而且还有很多的人生道理。这些都深深地影响了我。在我以后的人生道路上，这些也都会激励我。感谢在我读研期间，教过我的各位老师，你们在我的求学生涯给予了大力支持与帮助！感谢2011级课程所的所有同学们！感谢家人的鼓励与支持，让我能够专心完成学业！丁保媛2014年5月50 高一学生函数概念理解水平的调查研究读研期间公开发表的论文（著）及科研情况发表论文：[1]丁保媛，刘咏梅．范希尔理论指导下的函数概念教学．中学数学研究[J],2013（03）.[2]丁保媛，温洁.从范希尔理论看高一学生对函数概念的理解.中学生导报[J],2013(46).[3]温洁,丁保媛．基于认知诊断理论的高中生数学学习意志的基本状况的调查和分析．中学生导报[J],2013(46).参加课题：2011—2013参加省级课题“高中生自主学习能力发展的相关性因素分析”2012.10至今参加省级课题“高中生数学学习素养诊断研究”51