自考高等数学函数及其图形

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1、第一章函数及其图形一、考核内容1.一元函数的定义2.函数的几种特性3.反函数的概念及图形4.复合函数，初等函数二、基本概念，主要公式，典型例题1.一元函数的定义（1）定义：若变量x在某一变域D中的任取一值时，变量y按某确定的法则有一个惟一确定值与x的这个值对应，就说变量y是变量x的函数，记作其中x叫自变量，y叫因变量自变量x的取值范围叫定义域，记作Df例如大家在中学学过的叫多项式函数，叫以a为底的对数函数，叫以a为底的指数函数，叫正弦函数，它们都是函数（2）典型例题例一，求下列函数的定义域（1）解：分式的分母不能为零，所以.用区间表示为Df：（2）解：偶次

2、根式的被开方数不能小于0，所以得，方程的根为x1=-2，x2=3，所以不等式的解只能在取得，经验算知解为。∴Df：（3）解：取对数的数只能大于0，所以有分子的根和分母的根分别为x1=2,x2=-5,所以不等式的解只能在取得，经验算知解为∴Df：（4）解：取反正弦或反余弦的数只能在-1与1之间，所以有解得∴Df：［-4，2］例二解：f(1)表示将函数f(x)中的x换为1，叫函数f(x)在x取1时的值，所以例三，已知f(x)的定义域为(2，5］，求f(x－2)的定义域解：f(x)的定义域为(2，5］，即2＜x≤5∴f(u)的定义域为2＜u≤5∴f(x－2)的定

3、义域为2＜x－2≤5解得4＜x≤7∴f(x－2)的定义域为Df：（4，7］例四已知g(x)的定义域为［0，9］，求f(x)=g(x－2)+g(x+2)的定义域解：因为g(x)的定义域为［0，9］，即0≤x≤9，所以g(x－2)的定义域为0≤x－2≤9，解得2≤x≤11，同理g(x+2)的定义域为0≤x+2≤9解得-2≤x≤7∴f(x)的定义域为它的公共部分为∴f(x)的定义域Df:[2,7]例五下列各对函数是否相同？若不同，请说明x取何值时是相同的（1）解：在中，x的取值范围为，而在中，x的取值范围为，因为x取值范围不同，所以它们是不同的函数，例如无意义，

4、而有意义且。当x＞0时，则有。则它们是相同的。（2）解：y=x的定义域是，而的定义域是。因为定义域不同，所以它们是不同的函数。当x≠0时，则有，这时它们就相同了。（3），解：∵，所以这时它们的对应关系不同，因此是不同的函数。若只让x≥0，则，这时它们就相同了。2．函数的几种特性。（1）函数的增减性的概念定义：如果函数f(x)的自变量在区间I内任意取两值x1f(x2)就说在区间I内函数是单调减少的，并且说区间I是单调减少区间。典

5、型题：求f(x)=x2的单调区间解：①在，则有所以在是减少的，且的减区间。②在，则有所以在是增加的，且记区间是的增区间（2）函数的奇偶性偶函数的图形恒有关于y轴的对称点（-x,y）与（x,y），所以偶函数的图形关于y轴对称奇函数的图形恒有关于原点的对称点（-x，-y）与（x,y），所以奇函数的图形关于原点对称，见下图。典型题：例一，验证是偶函数，是奇函数。例二，讨论的奇偶性。解：例三，讨论下列函数的奇偶性下面是第二个例四．讨论下列函数的奇偶性例五，证明奇函数乘奇函数是偶函数同法可得下面结果：例六，观察下列函数的奇偶性(3)函数的有界性典型题讨论下列函数在相

6、应的区间上的有界性(4)函数的周期性关于周期函数，有下面的特例，学员可作为重要结果加以使用。典型例题：例一，指出下列函数中是否是周期函数，若是，则写出其周期T例二例三三、反函数的概念及图形根据反函数的定义，在求反函数时的步骤如下：典型例题，求下列函数的反函数解：第一步，解出x先移项得y(x+3)=x-2∴yx+3y=x-2再合并含有x的项yx-x=-2-3y②y=ln(1+2x)+3解：第一步，解出x因为(y-3)=ln(1+2x)根据对数函数的定义得第二步将上式中的x与y对换得解：3y=sin(2x-1)根据反三角函数的定义∴arcsin3y=2x-1两

7、边同乘2ex得2yex=(ex)2+1∴(ex)2-2yex+1=0四、复合函数，初等函数(1)复合函数的定义典型例题例一写出由下列函数复合而生成的复合函数。①y=u2,u=sinv,v=3x+1解：y=u2=(sinv)2=[sin(3x+1)]2简写为y=sin2(3x+1)②y=lnu,u=cosv,v=x2+1解：y=lncosv=lncos(x2+1)例二讨论y=lnu,u=-2+sinx是否能复合为复合函数。解：∵u=-2+sinx<-1∴y=lnu=ln(-2+sinx)无意义，说明它不是函数，当然不是复合函数。例三（下面十第三个）(2)基本

8、初等函数下面六种函数叫基本初等函数①常数函数函数y=c(常数)叫常