图形折叠问题

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1、------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx图形折叠问题【精品文档】图形折叠问题 图形的折叠实际就是反射变换或者说是对称变换，或者说是翻折。这类问题大都联系实际，内容丰富，解法灵活，具有开放性，有利于考查解题者的动手能力，空间观念和几何变换的思想。  例1. 折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕（对角线）BD，再折叠AD边与对角线BD重合，得折痕DG。若

2、AB=2，BC=1，求AG。解：作GE⊥BD，垂足为E。设AG=x，则，易知，则GE=x，根据勾股定理可知，所以在中，由勾股定理得，解得   例2. 如图2，矩形纸片ABCD的长AD=9cm，宽AB=3cm，将其折叠，使点D与点B重合，那么折叠后DE的长和折痕EF的长分别是多少？解法一：设，则，在中，由勾股定理得，【精品文档】【精品文档】解得，即。连结BD，设BD与EF交于点O，易得，由题意可知EF是BD的中垂线，所以，EF⊥BD，在中，由勾股定理得，所以。解法二：求DE同上法，再作EG⊥BC，

3、垂足为点G。易知，，所以，所以。    例3. 四边形ABCD是一块矩形纸片，E是AB上一点，且BE：EA=5：3，EC=，将△BCE沿折痕EC翻折，若点B恰好落在AD边上的点F上，求AB、BC的长。解：连结EF、FC、BF。设BF交EC于M。因为B、F关于EC对称，所以BF⊥EC，BE=EF，。【精品文档】【精品文档】设BE=5x，则。因为，所以因为，所以，所以，所以BC=30。所以，即，所以，所以。   例4. 如图4，一张宽为3，长为4的矩形纸片ABCD，先沿对角线BD对折，点C落在点的位

4、置，交AD于G，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，则ME的长为多少？解法一：延长BA、交于F，由轴对称性质知。所以又因为，【精品文档】【精品文档】所以，所以。再根据EN是折痕可知：EN垂直平分AD，所以EN//AB。又因为M是AD中点，所以E是DF中点，所以EM是△DFA的中位线。令EM=x，则FA=2x，FD=FB=2x+3，所以。解得，即。解法二：连结GN，易证△BGD是等腰三角形。因为A点、D点关于EN对称，所以N是BD的中点，所以GN⊥BD，所以Rt△GND∽R

5、t△BAD，所以。而所以。又因为，所以又因为Rt△DME∽Rt△，所以，。【精品文档】【精品文档】   例5. 如图5，有一块面积为1的正方形ABCD，M、N分别为AD、BC边上的中点，将点C折至MN上，落在点P位置，折痕为BQ，连结PQ。（1）求MP；（2）求证：以PQ为边长的正方形面积等于。解：（1）连结BP、PC，把MN看作是正方形对折的折痕，则BP和PC关于MN对称，故BP=PC。因为C点和P点关于BQ（折痕）成轴对称，所以BQ垂直平分PC，所以BP=BC，∠CBQ=∠PBQ，所以BP=

6、PC=BC=1，所以△PBC是等边三角形，所以∠CBQ=∠PBQ=30°。在Rt△BPN中，，所以。（2）证明：由折叠可知，。在Rt△QCB中，，所以以PQ为边长的正方形面积是。【精品文档】【精品文档】   例6. 如图6，把矩形ABCD对折，设折痕为MN，再把B点叠在折痕上，得到Rt△ABE，沿着EB线折叠得到△AEF，若矩形的宽CD=4，求△AEF的面积。解：由题意可知：EC//BN//AD。因为N是CD中点，所以B是EF中点。又因为∠EBA=90°，所以AB⊥EF，所以AB是EF的中垂线，

7、所以AE=AF。因为AE是折痕，所以2∠EAB+∠BAF=90°，所以3∠EAB=90°所以∠EAB=30°，所以∠EAF=60°，所以△AEF是等边三角形。设BE=x，则AE=2x，又因为AB=4，所以，解得，所以，所以。   例7. 如图7，已知将矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在处，交AD于E，AD=8，AB=4，求△BDE的面积。解：易证△BDE是等腰三角形，所以。作EF⊥BD，垂足为F，【精品文档】【精品文档】则。因为△BEF∽△，所以，又因为，，所以，所以。所以。   例8. 

8、如图8，把矩形纸片OABC放入直角坐标系xOy中，使OA、OC分别落在x轴、y轴的正半轴上。连结AC，且，。（1）求A、C两点的坐标；（2）求AC所在直线的函数解析式；（3）将纸片OABC折叠，使点A与点C重合（折痕为EF），求折叠后纸片重叠部分的面积。解：（1）因为，所以，即OA=2OC。因为，【精品文档】【精品文档】所以。所以点A的坐标是（8，0），点C的坐标是（0，4）。（2）设AC所在直线的函数解析式为y=kx+b，把A（8，0）、C（0，4）代入，得解得。所以AC所在直线的函数解析式为