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1、平面图形的折叠问题四川省岳池县白庙职业中学谢华折叠问题是平面几何的一种基本问题，又称为折纸问题.是新课标下中考数学命题的一个热点.折叠问题常以填空题、选择题、解答题或证明题的形式出现，属中档试题.主要考查学生的识图能力、空间想象能力、分析推理能力等.折叠问题其实质是“轴对称”，折痕（折线）是对称轴.在解决这类问题时，要仔细观察，认真思考，必要时也可动手操作，充分发挥空间想象力;紧紧抓住:①折痕是对称轴;②折叠前后部分的两个图形是全等形;同时还要考虑图形本身的性质,与勾股定理、相似形、方程、三角函数等知识结合起来.还要注意折叠过程中,线段、角发生的变化，哪些是变量，哪些是不变量，以寻找解题
2、思路.一、三角形的折叠例1如图1，在三角形纸片ABC中，∠C=90°,∠A=30°,AC=3.折叠该纸片,使点A与B重合,折痕与AB、AC分别相交于点D和点E，折痕DE的长为__________解填1.理由:在RtABC中,∠A=30,AC=3,ECBDA图1∴AB=.由折叠可知,DE垂直平分AB,∴AD=,在RtADE中，DE=ADtan30=1.(评注)充分利用了折痕是对称轴.例2如图2，CD是RtABC斜边AB上的高，将BCD沿CD折叠，B点恰好落在AB的中点E处，则∠A等于（）A．25B.30C.45D.60BECDA图2解选B.理由:由折叠可知,CBDCED.所以CB=CE,又
3、因为点E是RtABC斜边的中点,所以CE=AB,CB=AB.故∠A=30(评注)利用了折叠的性质②，以及直角三角形本身的性质:30°所对的直角边是斜边的一半.ABCFDE图3G二、四边形的折叠例3（2008上海）如图3，矩形纸片ABCD，BC=2，∠ABD=30.将该纸片沿对角线翻折,点A落在点E处,EB交DC于F,则点F到DB的距离为__________解填.理由:在RtBDC中，∵∠BDC=∠ABD=30，BC=2，∴BD=4.由折叠可知∠DEB=ABD,∴∠DBE=∠BDC,.∴DBF是等腰三角形过点F作FGBD,垂足是G,则BG=BD=2.在RtBFG中,设FG=x,则BF=2x
4、,由勾股定理,得FG2+BG2=BF2即x2+22=(2x)2解得x=,∴FG=,即F到DB的距离是ABDOE图4FC例4如图4，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8.若将矩形折叠,使B点和D点重合,则折痕EF的长为()A.B.C.5D.6解选A.理由:由折叠可知,EF垂直平分BD,既OB=OD==5,又∵四边形ABCD为矩形,有OE=OF,而OBF～ADB，∴,∴OF=,因此EF=2OF=.(评注)折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分,利用矩形的中心是对称中心解题,非常简单.例5如图5，已知折叠矩形的一边AD，使得点D落在BC边上的点F处，且AB=8cm，BC=10cm，求EC的
5、长图5DECFBA解：由折叠知AF=AD=10cm，EF=DF.设EC=xcm,则DE=(8-x)cm.在RtABF中,BF==6(cm),∴FC=BC-BF=10-6=4(cm).在RtCEF中,EF2=EC2+FC2∴(8-x)2=x2+4∴x=3即EC的长为3cm(评注)利用勾股定理建立方程求解例6（2008连云港）如图6，在直角梯形纸片ABCD中，AB∥DC，∠A=90°,CD＞AD,将纸片沿过点D的直线折叠,使A点落在CD边上的E点处,图6DECBGAF折痕为DF.连接EF并展开纸片.(1)求证:四边形ADEF是正方形(2)取线段AF的中心G,连接EG.如果BG=CD,试说明四
6、边形GBCE是等腰梯形(1)证明:在直角梯形ABCD中,∵AB∥DC,∠A=90°,∴∠ADC=90°.由折叠可知∠DEF=∠A=90°,∴四边形ADEF是矩形,又AD=AE,∴四边形ADEF是正方形.(2)连接DG.∵四边形ADEF是正方形,G是中点,∴DG=EG,又AB∥DC,BG=CD∴四边形BCDG是平行四边形,∴DG=BC∴EG=BC∴四边形BCDG是等腰梯形三、圆的折叠例7(2008福建永春)如图7,将半径为2cm的圆形纸片折叠后,圆弧恰好经过圆心O,则折痕AB的长为________cm解填2理由:连接OA,过点O作OC⊥AB,垂足是C,图7交弧AB(虚线)于D,则AB与OD
7、互相垂直平分,∴OC=OD=1,在RtOAC中,AC==,∴AB=2（变式）：如图8，将圆沿AB折叠后，圆弧恰好经过圆心，则弧AmB等于（）A.60°B.90°图8C.120°D.150°
