立体几何求角

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1、..-立体几何求角一.解答题〔共8小题〕1.如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=a,E是棱PC的中点.〔1〕求证:PC⊥BD;〔2〕求直线BE与PA所成角的余弦值.2.如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD,点E,F分别在线段BD,CD上,沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合〔Ⅰ〕求证:AB⊥CF;〔Ⅱ〕求直线AE与平面ABC所成角.-.word.zl-..-3.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点.〔1〕求证:DE⊥BC;〔2〕求三棱

2、锥E﹣BCD的体积.4.如图:ABCD是平行四边形,AP⊥平面ABCD,BE∥AP,AB=AP=2,BE=BC=1,∠CBA=60°〔1〕求证:EC∥平面PAD;〔2〕求证:平面PAC⊥平面EBC;〔3〕求直线PC与平面PABE所成角的正弦值.-.word.zl-..-5.如下图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=1,AB=2.〔1〕求证:MN∥平面PAD;〔2〕求证:平面PMC⊥平面PCD;〔3〕求点D到平面PMC的距离.6.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD⊥平面PDC,AD∥BC,PD⊥PB,AD=

3、1,BC=3,CD=4,PD=2.〔Ⅰ〕求异面直线AP与BC所成角的余弦值;〔Ⅱ〕求证:PD⊥平面PBC;〔Ⅲ〕求直线AB与平面PBC所成角的正弦值.-.word.zl-..-7.如图,三棱锥P﹣ABC,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,∠BAC=60°,PA=AC,M为PB的中点.〔Ⅰ〕求证:PC⊥BC.〔Ⅱ〕求二面角M﹣AC﹣B的大小.8.如图,四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥底面ABCD,且底面ABCD为平行四边形,假设∠DAB=60°,AB=2,AD=1.〔1〕求证:PA⊥BD;〔2〕假设∠PCD=45°,求点D到平面PBC的距离h.-.word.zl-..-立体几何

4、求角一.解答题〔共8小题〕1.如图,在正四棱锥P﹣ABCD中,PA=AB=a,E是棱PC的中点.〔1〕求证:PC⊥BD;〔2〕求直线BE与PA所成角的余弦值.【解答】证明:〔1〕∵四边形ABCD为正方形,且PA=AB=a,∴△PBC,△PDC都是等边三角形,…〔2分〕∵E是棱PC的中点,∴BE⊥PC,DE⊥PC,又BE∩DE=E,∴PC⊥平面BDE…〔5分〕又BD⊂平面BDE,∴PC⊥BD…〔6分〕解:〔2〕连接AC,交BD于点O,连OE.四边形ABCD为正方形,∴O是AC的中点…〔8分〕又E是PC的中点∴OE为△ACP的中位线,∴AP∥OE∴∠BEO即为BE与PA所成的角

5、…〔10分〕在Rt△BOE中,BE=,EO=,…〔12分〕-.word.zl-..-∴cos∠BEO=.∴直线BE与PA所成角的余弦值为.…〔14分〕2.如图,△ABC和△BCD所在平面互相垂直,且∠BAC=∠BCD=90°,AB=AC,CB=CD,点E,F分别在线段BD,CD上,沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合〔Ⅰ〕求证:AB⊥CF;〔Ⅱ〕求直线AE与平面ABC所成角.【解答】解:〔1〕面ABC⊥面BCD,面ABC∩面BCD=BC,∠BCD=90°⇒CF⊥BC,⇒FC⊥面ABC,⇒AB⊥CF…〔5分〕〔2〕设,设BE=t,那么ED=EA=2﹣t,-.word.z

6、l-..-取BC的中点H,连接HE,AH,又…〔7分〕又AH⊥面BCD,AE2=AH2+EH2,∴〔2﹣t〕2=+t2﹣t+,∴,∴点E是BD的中点,…〔10分〕HE∥BC,∴HE⊥面ABC,∠BEA为所求角的线面角…〔12分〕…〔14分〕∴所以直线AE与平面ABC所成角为…〔15分〕.3.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=5,BB1=BC=6,D,E分别是AA1和B1C的中点.〔1〕求证:DE⊥BC;〔2〕求三棱锥E﹣BCD的体积.-.word.zl-..-【解答】证明:〔1〕取BC中点F,连结EF,AF,那么EF△BCB1的中位线,∴EF∥BB1,EF

7、=BB1,∵AD∥BB1,AD=BB1,∴EF∥AD,EF=AD,∴四边形ADEF是平行四边形,∴DE∥AF,∵AB=AC,F是BC的中点,∴AF⊥BC,∴DE⊥BC.〔2〕∵BB1⊥平面ABC,AF⊂平面ABC,∴BB1⊥AF,又∵AF⊥BC,BC⊂平面BCC1B1,BB1⊂平面BCC1B1,BC∩BB1=B,∴AF⊥平面BCC1B1,∴DE⊥平面BCC1B1,∵AC=5,BC=6,∴CF==3,∴AF==4,∴DE=AF=4∵BC=BB1=6,∴S△BCE==9.∴三棱锥E﹣BCD的体积V=S△BCE•DE==

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