立体几何求角

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1、.立体几何求角一．解答题（共8小题）1．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．2．如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合（Ⅰ）求证：AB⊥CF；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成角．3．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点．（1）求证：DE⊥BC；（2）求

2、三棱锥E﹣BCD的体积．..4．如图：ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60°（1）求证：EC∥平面PAD；（2）求证：平面PAC⊥平面EBC；（3）求直线PC与平面PABE所成角的正弦值．5．如图所示，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点，PA=AD=1，AB=2．（1）求证：MN∥平面PAD；（2）求证：平面PMC⊥平面PCD；（3）求点D到平面PMC的距离．6．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD

3、⊥PB，AD=1，BC=3，CD=4，PD=2．（Ⅰ）求异面直线AP与BC所成角的余弦值；（Ⅱ）求证：PD⊥平面PBC；（Ⅲ）求直线AB与平面PBC所成角的正弦值．..7．如图，已知三棱锥P﹣ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，∠BAC=60°，PA=AC，M为PB的中点．（Ⅰ）求证：PC⊥BC．（Ⅱ）求二面角M﹣AC﹣B的大小．8．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD为平行四边形，若∠DAB=60°，AB=2，AD=1．（1）求证：PA⊥BD；（2）若∠PCD=45°，求点D到平面PBC的距离h．　..立体几

4、何求角一．解答题（共8小题）1．如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB=a，E是棱PC的中点．（1）求证：PC⊥BD；（2）求直线BE与PA所成角的余弦值．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，且PA=AB=a，∴△PBC，△PDC都是等边三角形，…（2分）∵E是棱PC的中点，∴BE⊥PC，DE⊥PC，又BE∩DE=E，∴PC⊥平面BDE…（5分）又BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD…（6分）解：（2）连接AC，交BD于点O，连OE．四边形ABCD为正方形，∴O是AC的中点…（8分）又E是PC的中点∴OE为△ACP的中位线，∴AP∥OE

5、∴∠BEO即为BE与PA所成的角…（10分）在Rt△BOE中，BE=，EO=，…（12分）∴cos∠BEO=．∴直线BE与PA所成角的余弦值为．…（14分）　2．如图，已知△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且∠BAC=∠BCD=90°，AB=AC，CB=CD，点E，F分别在线段BD，CD上，沿直线EF将△EFD向上翻折使得D与A重合（Ⅰ）求证：AB⊥CF；（Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成角．..【解答】解：（1）面ABC⊥面BCD，面ABC∩面BCD=BC，∠BCD=90°⇒CF⊥BC，⇒FC⊥面ABC，⇒AB⊥CF…（5分）（2）设，设BE

6、=t，则ED=EA=2﹣t，取BC的中点H，连接HE，AH，又…（7分）又AH⊥面BCD，AE2=AH2+EH2，∴（2﹣t）2=+t2﹣t+，∴，∴点E是BD的中点，…（10分）HE∥BC，∴HE⊥面ABC，∠BEA为所求角的线面角…（12分）…（14分）∴所以直线AE与平面ABC所成角为…（15分）．　3．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AC=5，BB1=BC=6，D，E分别是AA1和B1C的中点．（1）求证：DE⊥BC；（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．..【解答】证明：（1）取BC中点F，连结EF，AF，则EF△BCB1的中

7、位线，∴EF∥BB1，EF=BB1，∵AD∥BB1，AD=BB1，∴EF∥AD，EF=AD，∴四边形ADEF是平行四边形，∴DE∥AF，∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，∴DE⊥BC．（2）∵BB1⊥平面ABC，AF⊂平面ABC，∴BB1⊥AF，又∵AF⊥BC，BC⊂平面BCC1B1，BB1⊂平面BCC1B1，BC∩BB1=B，∴AF⊥平面BCC1B1，∴DE⊥平面BCC1B1，∵AC=5，BC=6，∴CF==3，∴AF==4，∴DE=AF=4∵BC=BB1=6，∴S△BCE==9．∴三棱锥E﹣BCD的体积V=S△BCE•DE==12

8、．　4．如图：ABCD是平行四边形，AP⊥平面ABCD，BE∥AP，AB=AP=2，BE=BC=1，∠CBA=60°（1）求证：EC∥平面PAD；（2