立体几何向量方法--求角.ppt

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1、利用空间向量解决空间角问题一、复习引入名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。aαbo.aˊO是空间中的任意一点bˊθ一、概念名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成

2、的角。平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，oLθαBA一、概念名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。LαθoBA平面的一条斜线和它在这个平面内的

3、射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，特别地，若Lᅩα则L与α所成的角是直角，若L//α或Lα，则L与α所成的角是的角。AαβLBO一、概念名称定义图形两条异面直线所成的角直线与平面所成的角二面角及它的平面角直线a、b是异面直线，经过空间任意一点o，作直线a’、b’，并使a’//a，b’//b，我们把直线a’和b’所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角。从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。

4、LαθoBAAαβLBO平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角，BB二、数学思想、方法、步骤：解决空间角的问题涉及的数学思想主要是转化与化归，即把空间角转化为平面角。2.方法：步骤：①作（找）②证③求1.数学思想：①几何法②向量法夹角公式：异面直线所成角的范围：思考：结论：探究1：线线角例1：解：以点C为坐标原点建立空间直角坐标系如图所示，设则：所以：所以与所成角的余弦值为斜线与平面所成角的范围：思考：结论：探究2：线面角例2：的棱长为1.正方体xyz解：以点A为坐标原点建立空间直角

5、坐标系A—xyzll二面角的范围：注意:法向量的方向：一进一出，二面角等于法向量夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角探究3：二面角设平面小结：1.异面直线所成角：2.直线与平面所成角：DCBA3.二面角：ll一进一出，二面角等于法向量的夹角；同进同出，二面角等于法向量夹角的补角。OABCSxyz1、如图，已知：直角梯形OABC中，OA∥BC,∠AOC=90°，SO⊥面OABC，且OS=OC=BC=1，OA=2。(1)求异面直线SA和OB所成的角的余弦值(2)求OS与面SAB所成角的余弦值(3)求二面角B－AS－O的余

6、弦值拓展训练OABCSOABCS所以OS与面SAB所成角的余弦值为OABCSOABCSOABCSOABCSxyzOABCSOABCSxyz所以二面角B－AS－O的余弦值为【例3】(2004年浙江省高考题)如图1-5，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面垂直，，AF＝1，M是线段EF的中点．(I)证明：AM∥平面BDE；(Ⅱ)证明：AM⊥平面BDF；(Ⅲ)求二面角A-DF-B的大小．(Ⅰ)证明如图1-6，设AC，BD交于点O，连EO，矩形AFEC的边长AF＝1，AC=2．∵O，M分别为AC与EF的中点，∴∴四边形AOE

7、M是平行四边形．∴AM∥OE．又OE平面BDE，平面BDE，∴AM∥平面BDE．(Ⅱ)证明如图1-7，∵BD⊥AC，BD⊥AF,AC∩AF＝A，∴BD⊥平面ACEF，DF在平面ACEF上的射影为OF．∵AO＝AF＝1，AOMF是正方形，OF⊥AM，∴由三垂线定理得DF⊥AM．同理FB⊥AM，DF∩FB＝F，∴AM⊥平面BDF．(Ⅲ)解设AM∩OF＝H，由(Ⅱ)知AH⊥平面BDF．如图1-8，作AG⊥DF交DF于Ｇ，连结GH，由三垂线定理知GH⊥DF，∴∠AGH是二面角A-DF-B的平面角．又∵∴即∴二面角A-DF-B的大小

8、为点评利用三垂线定理或其逆定理作二面角的平面角关键是找垂线，对有棱二面角通常应注意选取合适的点构造二面角的平面角．【例4】(2004年辽宁省高考题)如图1-9，已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB=60º，PD⊥平面ABCD，PD＝AD，点E为AB中点，点F为PD中点．(Ⅰ)证明：平面P