最大视角问题探秘

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2011年乌鲁木齐市中学数学论文评选参评论文最大视角问题探秘一、历史背景与高考、竞赛最大视角问题，也称米勒问题。一种说法为1471年德国数学家米勒（JohannesMiiller）提出的“塑像问题”【1】：假定有一个塑像，高米，立在一个高米的底座上，一个人盯着这尊塑像朝它走去，这个人的水平视线离地面米，问此人应站在离塑像底座多远的地方，才能使塑像看上去最大？另一种说法则为1471年米勒向诺德尔（ChristianRoder）教授提出的有趣问题【2】：在地球表面什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？（即在什么部位，可见角为最大？）在米勒的家乡哥尼斯堡，该问题又被称作雷奇奥莫塔努斯极大值问题，最终都是由当时的另一位数学家罗斯（Ad·Lorsch）用几何方法解决的。最大视角问题应用比较广泛。例如，在南非足球世界杯某场比赛中，一名队员沿边路带球突破时，距底线多远处射球，所对球门的张角最大？这里假设足球场宽为90米，球门宽为7.32米【3】。过去，最大视角问题常常出现在趣味数学或数学应用的册子中；由于最大视角问题既是应用问题又有一定的趣味，符合课标要求，加上近些年高考中频频出现，人教版课标教科书《数学》⑤也将其纳入进来，见“3.4基本不等式”的B组习题，苏教版课标教科书必修5中也涉及此内容（第11页的第3题）【4】。最大视角问题由于难度不大，是高考和各类竞赛的热点问题，最早出现在1984年西安市中学生数学竞赛和1986年的全国高考试卷中，后在2005年的天津高考试卷、浙江高考试卷、2010年的江苏高考试卷中相继出现，2001年希望杯竞赛·高二、2004年和2006年的全国高中数学联赛也出现过此类问题，可见高考或竞赛命题者对此问题是“百出不厌”、“情有独钟”。二、解决最大视角问题的四种方法以1986年的全国高考试卷中问题作为引例：如图，平面直角坐标系中，在轴正半轴上有两点，，并且，试在轴正半轴上求一点，使得最大。解法一：设点的坐标为，，，，于是有：，当且仅当时，取“”号，即当时，这时点距原点为，可使得最大。解法二：过点、点作圆与轴正半轴相切于点，如右图，此圆与交于点，连结，由圆的性质知：，再由圆幂定理知，4 2011年乌鲁木齐市中学数学论文评选参评论文，设，即得，故当时，可使得最大。解法三：，，设，则，当且仅当时，取“”号，即得：。解法四：，，，设，由余弦定理得：当且仅当时，取“”号，即得：。三、探源四种解法的一致性和几何均值的几何意义的关联解法四使用余弦定理，但解法三实则是解法四的向量表现形式，而三角形边向量关系本身就蕴含着余弦定理。解法三采用向量方法，其实与解法一是高度一致的，由可以得到：，又因，且，则。我们再回到解法一中看一下是否与解法二也相一致呢？因，分子为定值，而分母，当且仅当时，取“”号，即有：，这与解法二中由圆幂定理得到的是多么的一致，解法二运用了纯几何方法，即运用了圆的性质“同弦所对的同侧圆周角皆相等”、“同弦所对同侧的圆周角大于圆外角”4 2011年乌鲁木齐市中学数学论文评选参评论文以及圆幂定理。笔者认为其两法同归殊途于，结果都必定为。我们再探究一下几何均值的几何意义与圆幂定理的等式的关系。（这里我们不妨将中的换成以区别圆幂定理的等式中的。）如下图，在圆中，是直径，点是其圆周上一点，连结、，则三角形是直角三角形，过点作，垂足为，即为斜边上的高，有关系，这就是几何均值（即）的一种几何诠释。注意到在中有：，可得：。又在圆的直径上取一点，使，在过点、、作圆，由，，可以知道：，得：，且，则，且是圆的切线，这即圆幂定理方法。反过来，在圆中，在的延长线上取（即取点关于点的对称点），连结，且有与得：，有，，且，结合三式得：，则三角形是直角三角形，就是其外接圆的直径，且，即回到了几何均值（即）的几何诠释。至此几何均值的几何意义与圆幂定理的关联就有机地建立了起来，看一看是不是很奇妙啊！四、最大视角问题的拓展我们将1986年的全国高考试卷中问题再进行改编拓展，即在平面直角坐标系中，轴上有两定点、关于原点对称，并设线段的长度为（），试问在轴右侧取那些点，可使得最大（如右图）。4 2011年乌鲁木齐市中学数学论文评选参评论文解析：我们将轴右侧区域分成三部分（如右图）：带形区域、射线以下区域、射线以上区域。⑴在射线以上区域中任取一点，过点作轴的垂线，垂足为。连结、，过点、点作圆与直线相切于点，仿引例解法二知当满足时，可使得最大，即有（，），变形得（，），故这些使得最大的点在曲线（，）上。⑵由对称性知在射线以下区域中使得最大的点在曲线（，）上。⑶在带形区域中任取一点，过点作轴的垂线，垂足为。连结、、、，过点、点作圆与直线相切于点，由于同弦所对同侧的圆周角大于圆外角，知，设点的坐标为，这时有，且，故这些使得最大的点在曲线（）上。综上所知：满足条件的点要么在等轴双曲线（部分）（）上；要么在射线（）上。这个模型可应用于球员在足球场上哪一点射球，进球几率大。【3】（即，使球员面对球门的张角最大。）参考文献：【1】张远南著，《函数和极限的故事》，中国少年儿童出版社，2005年7月第1版【2】（德）H.德里著，《100个著名初等数学问题——历史和解》，上海科学技术出版社，1982年8月第1版【3】邹瑾、杨国安主编，《开心数学》，哈尔滨工业大学出版社，2003年7月第1版【4】展国培《一杯陈年佳酿，让人回味悠长》中学数学（湖北），2010年第8期（高中版）4