“最大与最小”问题

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1、“最大与最小”问题“最大与最小”问题在应用数学知识解决日常生活中的一些实际问题时，经常会出现解决方案不止一种，有时还会有无数种的情况。在这种情况下，我们往往需要找最大量或最小量。例1试求乘积为36，和为最小的两个自然数。分析与解不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情况：136、218、312、49、66。相应的两个乘数的和是：1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。显然，乘积是36，和为最小的两个自然数是6与6。例2试求乘积是80，和为最小的三个自然数。分析与解不考虑因数顺序，乘积是80的三个自然数有以下

2、八种情况：1240、1420、1516、1810、2220、2410、258、445。经过计算，容易得知，乘积是80，和为最小的三个自然数是4、4、5。结论一：从上述两例可见，m个自然数的乘积是一个常数，则当这m个乘数相等或最相近时，其和最小。例3试求和为8，积为最大的两个自然数。分析与解不考虑加数顺序，和为8的两个自然数有以下四种情况：1+7、2+6、3+5、4+4。相对应的两个加数的积是：17=7、26=12、35=15、44=16。显然，和为8，积为最大的两个自然数是4和4。例4试求和为13，积为最大的两个自然数。分析与解不考虑加数顺序，和为13

3、的两个自然数有以下六种情况：1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。经过计算，不难发现，和为13，积为最大的两个结论二：从上述两例可知，m个自然数的和是一个常数，则当这m个数相等或最相近时，其积最大。例5砌一平方米的围墙要用砖50块，现有5600块砖，用来砌一个矩形晒谷场的围墙。如果围墙高2米，则砌成的晒谷场的长和宽各是多少米时，晒的谷最多？分析与解根据题意，首先可知5600块砖可砌围墙（5600÷50÷2=）56米，即长方形晒谷场的周长为56米。要使晒谷场晒的谷最多，实际就是长方形晒谷场的面积（长宽）要最大。

4、而长方形的周长56米一定，即长与宽的和（56÷2=）28米也一定，因此只有当长与宽相等（都是14米）时，面积才最大。所以，晒谷场的长和宽都是14米时，晒的谷最多。这时晒谷场的面积是：　　1414=196（平方米）例6要用竹篱笆围一个面积为6400平方米的矩形养鸡场。如果每米篱笆要用去30千克毛竹，那么该怎样围，才能使毛竹最省？分析与解要使毛竹最省，就是养鸡场的周长要最小，而矩形养鸡场的面积6400平方米一定，即长与宽的积一定，因此，只有当长与宽相等（都是80米）时，周长才最小。所以，只有当养鸡场的长和宽都为80米时，所用毛竹最省。这时所需

5、毛竹是：　　30〔（80+80）2〕=30320=9600（千克）例7用2到9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。分析与解用2、3、4、5、6、7、8、9这八个数字组成两个四位数，使乘积最大，显然，9和8应分别作两个数的千位数，7和6应分别作百位数，但7和6分别放在9和8谁的后面呢？　　因为：97+86=183，96+87=183，它们的和相等。又有：　　97-86=11，96-87=9　　显然，96与87之间比97与86之间相隔更少，更相近。所以，96与87的乘积一定大于97与86的乘积。　　所以，7应放在8后面，6应放在9后面。

6、　　同理，可安排后面两位数字，得到的两个四位数是9642和8753。它们的积是　　96428753=84396426例8试比较下列两数的大小：　　a=87536897963845　　b=87536887963846分析与解此题若采用转化法或设置中间数法都能比较出结果，但过程复杂。仔细观察两数会发现，a中两个因数的和与b中两个因数的和相等。因此，要比较a与b谁大，只要看a与b哪一个数中的两个因数之间相隔更少，更相近。很容易看出8753688与7963846之间比8753689与7963845之间相隔更少，更相近，所以，可得出b＞a。——..，。