抽象函数专项练习

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1、抽象函数专项练习1定义在（0，＋∞）上的函数f(x)，对于任意的实数m、n∈（0，＋∞），都有f(mn)＝f(m)＋f(n)成立，且当x>1时，f(x)<0．（1）计算f(1)的值；（2）证明f(x)在（0，＋∞）上是减函数；（3）比较与的大小．2定义在R上的单调函数，对于任意的实数m、n∈R，都有f(m+n)＝f(m)＋f(n)成立，若对于任意的实数R恒成立，求实数的取值范围.3若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数，且对一切x＞0满足f()=f(x)-f(y),且f(6)=1,解不等式f(x+3)-f(1/x)＜2.4设函数f(x)是定义

2、域为R+，且对任意的x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),，当且仅当x>1时，f(x)>1成立.⑴设x1,x2∈R+,若f(x1)>f(x2),比较x1,x2的大小;⑵解不等式f()>f(ax-3)(0

3、意x1,x2∈R,当x1+x2=1时,恒有f(x1)+f(x2)=1,且f(0)=0,若an=f(0)+f(1/n)+f(2/n)+…+f(n-1/n),求an.8函数f(x)满足对任意x,y都有f(x)+f(y)=f()，且当x<0时，都有f(x)>0，求证f()+f()+…+f()>f().9已知函数是定义在上的奇函数，且，若（1）证明在上是增函数；（2）解不等式；（3）若对所有且当恒成立，求实数的范围10已知函数满足：对任意的实数成立，且（1）判断在上的单调性；（2）解不等式11设函数的图象关于点对称，则4已知上的减函数，且（1）对于任意

4、的，并判断是否为上递减的必要条件；（2）如果（1）中判断成立，试将其推广一般情形（不必证明）；若不成立，请写出一个正确的结论（不必证明）1特殊赋值f(1)＝0．（2）定义证明中创造用法则；（3）单调性转化为不等式求解∵，∴，而，于是只需比较与mn的大小．∵，所以（当且仅当m＝n时取等号）．2赋值奇函数，单调性转化分离参数不等式求解3抽象函数研究方法，赋值和创造使用对应法则及用单调性转化求解.令x=y=1可得f（1）=0；反复用对应法则f（x+3）-f（）=f（x2+3x）.而2=2f（6），且x＞0.于是有f（x2+3x）-f（6）＜f（6）；

5、即f（）＜f（6），可得0＜＜6，解之,0＜x＜4创造使用对应法则和题设条件，比较大小和解函数不等式.由对应法则有f(y/x)=f(y)-f(x).⑴由f(x1)>f(x2)和f(x1)-f(x2)=f(x1/x2)>0,而x>1时，f(x)>1成立,则x1/x2>1.又x1,x2∈R+，故x1>x2.⑵由⑴知，由f()>f(ax-3)得，()/(ax-3)>1,且ax-3>0,解得3

6、件证明减函数.设，用对应法则，即为实数上的减函数.由法则和单调性为上的点，，则单位圆和恒过定点的直线系相离或相切，即，解得实数a的取值范围为.6若注意到目标，整体思维，构造辅助函数，因f（ab）=af（b）+bf（a）.所以。于是，整体函数，满足7依据对应法则和所求值的结构特征，创造用对应法则，整体把握用等差数列前n项和公式推导方法“反序求和”.由an=0+f(1)+f(1/n)+f(2/n)+…+f(n-1/n),an=f(n-1/n)+f(n-2/n)+…+f(1/n)+0，相加用对应法则有2an=〔f(1/n)+f(n-1/n)〕+〔f(

7、2/n)+f(n-2/n)〕+…+〔f(n-1/n)+f(1/n)〕=n+1,故8观察对应法则的结构特征，联想“通项为分式的数列求和方法”.整体把握不等式左端数列和，从通项入手，逆用法则裂项相消法求和解决.赋值易知f(x)奇函数，且当x>0时，都有f(x)<0.创造使用对应法则,由于，所以f()=9（1）定义法证明注意题设和奇函数变形；（2）注意整体变量在区间上构建不等式组解得（3）恒成立化归为某函数值域问题，化为恒成立，可用二次区间上问题解决，若化参数为主元，一次函数保号性，10特殊赋值化为等差型数列“累加法”求通项；赋值用法则判断单调性；特

8、殊性单调性转化解不等式.（1）赋值，个等式累加有；（2）单调性证明中创造用法则，（3）注意（1）单调性转化解得3注意对称的意义，4利用两函数之间的关系