作业6 抽象函数专项训练

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1、象函数专项训练8、若奇函数f(x)为满足，且，则11、已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，对任意x、y满足f（x-y）=f（x）·g（y）-g（x）·f（y），且f（-2）=f（1）≠0，则g（1）+g（-1）=_________12、已知函数满足对恒成立，且，则．14、设对于任意正实数，且当（1）求的值；（2）求证：上是增函数；（2）解关于x的不等式。15、定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒

2、有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。16、已知函数是定义域为R的偶函数，其图像均在x轴的上方，对任意的，都有，且，又当时，其导函数恒成立。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）解关于x的不等式：，其中17、已知函数满足下列条件：①函数的定义域为[0，1]；②对于任意；③对于满足条件的任意两个数（1）证明：对于任意的；（2）证明：于任意的；18、已知定义在的函数同时满足以下三条：①对任意的，总有；②；③当时，总有成立．19、已知函数f（x）的定义域为{x

3、x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何

4、x、y，有f（x-y）=成立，且f（a）=1（a为正常数），当00．（I）判断f（x）奇偶性；（II）证明f（x）为周期函数；（III）求f（x）在[2a，3a]上的最小值和最大值．20、已知集合是满足下列性质的函数的全体,存在非零常数,对任意,有成立.(1)函数是否属于集合?说明理由;(2)设,且,已知当时,,求当时,的解析式.8.-211.-112、1004，13、y=x-1，14、解：（1）①当P>0时，得x>4，②当P=0时，不等式不成立，解集为③当15、解：（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0

5、)≠0∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0∴∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：x-x2>0∴0

6、＝f(0×0)＝[f(0)]0∵函数f(x)的图象均在x轴的上方,∴f(0)＞0,∴f(0)＝1∵f(2)＝f(1×2)＝[f(1)]2＝4，又f(x)＞0∴f(1)＝2,f(－1)＝f(1)＝2……3分(2)又当时，其导函数恒成立，∴在区间上为单调递增函数∴①当时，；②当时，，∴；③当时，，∴综上所述：当时，；当时，；当时，。17、（1）证明：对于任意的即对于任意的（1）证明：由已知条件可得所以对于任意的18、解：（1）函数在区间上是否同时适合①②③？并说明理由；（2）假设存在，使得且，求证：．（1）显然，在[0，1]满足①；满足②；对于③，若

7、，则．故适合①②③．（2）由③知，任给时，当时，由于，所以若，则前后矛盾,若，则前后矛盾故得证．19、解：（1）∵定义域{x

8、x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，又f（-x）=f[（a-x）-a]======-f（x），对于定义域内的每个x值都成立∴f（x）为奇函数（2）易证：f（x+4a）=f（x），周期为4a．（3）f（2a）=f（a+a）=f[a-（-a）]===0，f（3a）=f（2a+a）=f[2a-（-a）]===-1．先证明f（x）在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈（2a，3a）时，f（x）<0，设2a

9、a0，∴f（x）<0设2a0，∴f（x1）-f（x2）=>0，∴f（x1）>f（x2），∴f（x）在[2a，3a]上单调递减-∴f（x）在[2a，3a]上的最大值为f（2a=0，最小值为f（3a）=-120、解:(1)假设函数属于集合,则存在非零常数,对任意,有成立,即:成立.令,则,与题矛盾.故.(2),且,则对任意,有,设,则,当时,,故当时,.