2008年全国初中数学联赛决赛试题

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1、2008年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)及参考答案一、选择题(本题满分42分，每小题7分)　　本题共有6小题，每题均给出了代号为A,B,C,D的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个(不论是否写在括号内)，一律得0分.　　1.从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是(　　)　　(A)　　　　(B)　　　　(C)　　　　(D)　　2.化简的结果是(　　)　　(A)　　　　　(B)　　　　　(C)　

2、　　　　　(D)　　3.555的末尾三位数字是(　　)　　(A)125　　　　　(B)375　　　　　(C)625　　　　　　(D)875　　4.若实数x,y,z满足方程组：　则有(　　)　　(A)x+2y+3z=0　　(B)7x+5y+2z=0　　(C)9x+6y+3z=0　　(D)10x+7y+z=0　　5.将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为(　　)6　　　　(A)15　　　　　(B)18　　　　　　(C)21　　　　　　　(D)24　　6.某人

3、将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数，结果所得到的六位数恰是一个完全立方数，则=(　　)　　(A)40　　　　　　(B)50　　　　　　(C)60　　　　　　　(D)70　　二、填空题(本题满分28分，每小题7分)7.设____.　8.一本书共有61页，顺次编号为1，2，…，61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了(即：形如的两位数被当成了两位数)，结果得到的总和是2008，那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是____.　　9.如图

4、，在边长为1的正三角形ABC中，由两条含120°圆心角的弓形弧，及边BC所围成的(火炬形)阴影部分的面积是____.　　10.不超过的最大整数是____.　　三、解答题(共70分)　　11.(本题满分20分)设a为整数,使得关于x的方程ax2-(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根.　　12.(本题满分25分)如图，四边形中ABCD中，E,F分别是AB,CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K.　求证：K是线段MN的中点.6　

5、　13.(本题满分25分)120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？参考答案及评分标准　　一、选择题(每小题7分，共42分)　　1.解：由，而故删去后，可使剩下的数之和为1.故选C.　　2.解：=.故选A.3.解：555=5×554=5×12518，因125被8除余l，所以12518被8除余l，故知555被8除余5，而在125、375、625、875四数中，只有125被8除余5.故选A.

6、　4.解：由(1)、(3)得，,故x≠0，代人(2)解得，所以，z=-54.检验知此组解满足原方程组，于是10X＋7y＋Z=0．故选D.　　5.解：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线；这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的菱形；共得21个菱形.故选C.6　　　　6.解：设=，则据末位数字特征得y=2，进而确定：因=21

7、6000，=343000，所以60＜＜70，故只有，=62，而=238328，则=38，=32，＋=70.故选D.　　二、填空题(每小题7分，共28分)　　7.解：据条件式　　令=z，则(1)式化为：　　=9，即有9-z=xy+，平方得　　81-18z＋=.……(2)又由　　==,代入(2)得，81-18z=4,所以.　　8.解：l＋2＋…＋61=1891，2008－1891=117，由于形如的页码被当成后，加得的和数将相差9

8、a-b

9、，因为a,b只能在1，2，…，9中取值，

10、a-b

11、≤8，得9

12、a-b

13、

14、≤72，由于117=72＋45=63＋54，设弄错的两位数是和，若9

15、a-b

16、=72，9

17、c-d

18、=45，只有=19，而可以取l6，27，38，49；这时+的最大值是68；若9

19、a-b

20、=63，9

21、c-d

22、=54，则可以取18，29，而可以取17，28，39，+的最大值也是68．6　　9.解：如右图，连OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分剖分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转120°后，阴影部分便合并