2010全国初中数学联赛总决赛集训题

《2010全国初中数学联赛总决赛集训题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、2010全国初中数学联赛总决赛集训题（十四）1．设圆内接四边形的两组对边分别相交于点两对角线相交于点，试证：圆心恰为的垂心。2．在△ABC中，∠C=90°，点E1、E2在边BC上，且∠BAE1=∠CAE2，AE1、AE2分别与BA边上的高CH交于D1、D2，过D1、D2分别作AB的平行线交BC于F1、F2。求证：。3．已知、、非负，求证：≤。304．已知、、是锐角△ABC的三条高，过A作直线⊥，过B作直线⊥，过C作直线⊥。试证明：、、相交于一点。5．从1，2，3，…，1994这1994个数中任意选取个，

2、使得所选的个数中以任意两个数为边长都唯一确定一个等腰三角形，试求的最大值。6．试证明：对任意的自然数，方程恒有自然数解。7．如图，PAB是⊙O的割线，PC是切线，CD为的⊙O直径，DB，OP相交于E，求证：AC⊥CE。308．圆周上有800个点，依顺时针方向标号为1，2，…，800。它们将圆周分成800个间隙。今选定某一点染成红色，然后，按如下规则，逐次染红其余的一些点：如果第号点已被染红，则可按顺时针转过个间隙，再将所达到的那个端点染红，如此继续下去。试问圆周上最多可得到几个红点？证明你的结论。9．如

3、图，设D是锐角△ABC内部一点，使得∠ADB∠ADB=，并有AC•BD=AD•BC，求证。10．△ABC中，∠BAC=，AD、BE、CF是三条高，试证：DE+DF≤BC。11．已知CD为Rt△ABC斜边上的高，⊙O1和⊙O2分别为△ADC、△BDC的内切圆，AC切⊙O1于点P，BC切⊙O2于点Q。AO1、BO2交于点O，OM⊥O1O2于点M。30求证：∠O1PM+∠O2QN=。12．如图，P为△ABC内部任意一点，设AP、BP、CP分别交BC、CA、AB于点D、E、F，则有S△DEF=。2010全国初中

4、数学联赛总决赛集训题（十五）1．在正方形ABCD的AB、BC（或其延长线上）各取一点M、N，使∠MDN=，作MP⊥DN。求证：∠BPN=2∠ADN。2．求出所有形如且能被37整除的自然数。303．已知直线过⊙O的圆心，直线⊥，M是垂足，过上两点A、B作⊙O的切线AC、BD，C、D是切点。（1）若A、B在点M的同侧，且AM>BM,当ACBD=AB时，与⊙O相切；（2）若A、B在点M的两侧，且AC+BD=AB时，与⊙O相切。4．试证：存在无限多个有序自然数对（、），使对于自然数，数是某两个连续自然数之积的充

5、要条件是为某两个连续自然数之积。5．P在△ABC的边AC或其延长线上，且，D、E在BC上，且BD=DE=EC，AE、AD分别交BP于E、G。求证：。306．已知H是锐角△ABC内一点，AH、BH、CH分别交BC、CA、AB于D、E、F。且∠EDH=∠FDH，求证AD⊥BC。7．⊙O1是等腰三角形ABC的外接圆，⊙O是以底边BC为弦的一圆，⊙O2内切于⊙O，且与AB、AC分别切于点P、Q。点I为△ABC的内心。求证：∠PIQ+∠OBO1=。8．如图，在五边形ABCDE中，∠BAC=∠CAD=∠DAE，∠A

6、CB=∠ADC=∠AED=，F为CD的中点，求证：AF、BD、CE三线共点。309．如图，不等边△ABC的三边满足关系式，O、I分别为△ABC的外心、内心，∠BAC的外角平分线交⊙O于点E。求证：。10．在实数范围内解方程：。11．4个互不相同且末位数字不是1的质数，其平方和等于4（、为质数，≠），A=（为大于6的整数）是一个6位数，分别由A的前3位数字，末3位数字组成的两个百位数之和等于10，且前3位数字组成的百位数是2（为质数）的形式，求这4个质数之积。12．、、依次为△ABC的∠A、∠B、∠C所对

7、的边，且。求的值。302010全国初中数学联赛总决赛集训题（十六）1．A、B、C、D四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统，使每两个城市之间都有公路相通，并使整个公路系统的总长为最小，问这个公路系统应该如何修建？2．如图，⊙O1与⊙O2外切于点A，过A作⊙O1、⊙O2的直径AB、AC，P是⊙O1与⊙O2的一条外公切线MN的中点，过B、P、C三点的⊙O分别交⊙O1、⊙O2于B1、C1，直线BB1、CC1交于点Q，求证：（1）PQ=MN；（2）M、N、C1、B1四点共圆。3．已知、、为非负实

8、数，且，求证：304．设N为全体自然数的集合，给定∈N，且是奇数。证明：存在函数：N→N，使得对每一个∈N，都有，且是严格递增的。5．对任意自然数，连结原点O和点A(，+3)，用表示线段OA上除端点外的整点的个数，试求：…。6．在△ABC中，AB=37，AC=58，以A为圆心、AB长为半径作弧交BC于点D，且D在B、C之间，若BD与DC长均为整数，求BC的长。7．为什么实数时，关于的方程的解都是整数。308．在△ABC的外侧作△BCP、△C