2010全国初中数学联赛试卷

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1、2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准说明:评阅试卷时,请依据本评分标准.第一试,选择题和填空题只设7分和0分两档;第二试各题,请按照本评分标准规定的评分档次给分.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准划分的档次,给予相应的分数.第一试一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)1.若均为整数且满足,则()A.1.B.2.C.3.D.4.【答】B.因为均为整数,所以和均为整数,从而由可得或若则,从而.若则,从而.因此,2.2.若实数满足等式,,则可能取的最大值为()A.0.B.1.C.2.D.3.【答】C.由两个

2、已知等式可得,而,所以.当时,可得,满足已知等式.所以可能取的最大值为2.3.若是两个正数,且则()A..B..C..D..【答】C.由可得,则①由于是两个正数,所以,所以,从而另一方面,由可得,结合①式可得,所以因此,.4.若方程的两根也是方程的根,则的值为()A.-13.B.-9.C.6.D.0.【答】A.设是方程的一个根,则,所以.由题意,也是方程的根,所以,把代入此式,得,整理得.从而可知:方程的两根也是方程的根,这两个方程实质上应该是同一个一元二次方程,从而有(其中为常数),故,所以.因此,.5.在△中,已知,D,E分别是边AB,AC上的点,且,,,则()

3、A.15°.B.20°.C.25°.D.30°.【答】B.如图,延长AB到F,使BF=ED,连CF,EF.∵,∴,,,,于是,,.又∵,,∴,.在△CDA和△CBF中,CA=CF,,AD=BF,∴△CDA≌△CBF,∴.于是,.6.对于自然数,将其各位数字之和记为,如,,则()A.28062.B.28065.C.28067.D.28068.【答】D.把1到2010之间的所有自然数均看作四位数(如果不足四位,则在前面加0,补足四位,这样做不会改变的值).1在千位上出现的次数为,1在百位上出现的次数为,1在十位和个位上出现的次数均为,因此,1出现的总次数为.2在千位上出

4、现的次数为11,2在百位和十位上出现的次数均为,2在个位上出现的次数为,因此,2出现的总次数为.类似的,可求得出现的总次数均为.因此=28068.二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)1.已知实数满足方程组则.【答】13.由得,把代入,可得.因此,是一元二次方程的两个实数根,易求得这两个实数根分别为3和,所以.2.二次函数的图象与轴正方向交于A,B两点,与轴正方向交于点C.已知,,则.【答】.由题意知,点C的坐标为,.设两点的坐标分别为,,则是方程的两根.由根与系数的关系得.又,则.于是,,.由,得.3.在等腰直角△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC内一点,

5、且PA=,PC=5,则PB=______.【答】.作PE⊥AB,交AB于点E,作PF⊥BC,交BC于点F,设,分别在△PAE、△PCF中利用勾股定理,得①②②-①,得,所以,代入①中,得,解得,.当时,,在Rt△PAE中,由勾股定理可得.当时,,此时,所以点P在△ABC的外面,不符合题意,舍去.因此.4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种要求摆放,最多可以摆放_______个球.【答】15.将这些球的位置按顺序标号为1,2,3,4,…….由于1号球与7号球中间夹有5个球,1号球

6、与12号球中间夹有10个球,12号球与6号球中间夹有5个球,7号球与13号球中间夹有5个球,13号球与2号球中间夹有10个球,2号球与8号球中间夹有5个球,8号球与14号球中间夹有5个球,14号球与3号球中间夹有10个球,3号球与9号球中间夹有5个球,9号球与15号球中间夹有5个球,15号球与4号球中间夹有10个球,4号球与10号球中间夹有5个球,因此,编号为1,7,12,6, 13,2,8,14,3,9,15,4,10的球颜色相同,编号为5,11的球可以为另外的一种颜色.因此,可以按照要求摆放15个球.如果球的个数多于15个,则一方面,16号球与10号球应同色,另

7、一方面,5号球与16号球中间夹有10个球,所以5号球与16号球同色,从而1到16号球的颜色都相同,进一步可以知道:所有的球的颜色都相同,与要求不符.因此,按这种要求摆放,最多可以摆放15个球.第二试(A)一.(本题满分20分)设整数()为三角形的三边长,满足,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.解由已知等式可得①令,则,其中均为自然数.于是,等式①变为,即②由于均为自然数,判断易知,使得等式②成立的只有两组:和…………10分(1)当时,,.又为三角形的三边长,所以,即,解得.又因为三角形的周长不超过30,即,解得.因此,所以可以取值4,5,6,7,8,对应

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