2008年全国初中数学联赛决赛试题(江西卷)

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1、2008年全国初中数学联赛决赛试题（江西卷）（2008年4月１９日上午９：00—１１：３０）一、选择题（本题满分42分，每小题7分）本题共有6小题，每题均给出了代号为的四个答案，其中有且仅有一个是正确的.将你所选择的答案的代号填在题后的括号内.每小题选对得7分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分.1、从分数组中删去两个分数，使剩下的数之和为1，则删去两个数是（）（A）(B)(C)(D)2、化简的结果是（）（A）(B)(C)(D)3、的末尾三位数字是（）（A）125(B)375(C)625(D

2、)8754、若实数满足方程组：,则有（）（A）x+2y+3z=0(B)7x+5y+2z=0(C)9x+6y+3z=0(D)10x+7y+z=05、将正三角形每条边四等份，然后过这些分点作平行于其它两边的直线，则以图中线段为边的菱形个数为（）（A）15(B)18(C)21(D)246、某人将2008看成了一个填数游戏式：2□□8，于是他在每个框中各填写了一个两位数，结果所得到的六位数恰是一个完全立方数，则=（）（A）４０(B)５０(C)６０(D)７０二、填空题（本题满分28分，每小题7分）7、设.8、一本书共有61页，顺次编号

3、为1，2，…，61，某人在将这些数相加时，有两个两位数页码都错把个位数与十位数弄反了（即：形如的两位数被当成了两位数），结果得到的总和是2008，那么，书上这两个两位数页码之和的最大值是.9、如图，在边长为1的正三角形ABC中，由两条含圆心角的弓形弧，及边BC所围成的（火炬形）阴影部分的面积是.10、不超过的最大整数是.三.解答题（共70分）11.（本题满分20分）设a为整数,使得关于x的方程a-(a+5)x+a+7=0至少有一个有理根，试求方程所有可能的有理根.12.（本题满分25分）如图，四边形中ABCD中，E,F分别是

4、AB,CD的中点，P为对角线AC延长线上的任意一点，PF交AD于M，PE交BC于N，EF交MN于K;求证：K是线段MN的中点.13.（本题满分25分）120人参加数学竞赛，试题共有5道大题，已知第1、2、3、4、5题分别有96、83、74、66、35人做对，如果至少做对3题便可获奖，问：这次竞赛至少有几人获奖？2008年全国初中数学联赛决赛试题（江西卷）参考答案（2008年4月１９日上午９：00—１１：３０）－、选择题（每小题7分，共42分）1、解：由，而故删去后，可使剩下的数之和为1.故选C2、解：=.故选A.3、解：=5

5、×=5×，因125被8除余l，所以被8除余l，故知被8除余5，而在125、375、625、875四数中，只有125被8除余5，故选A4、解：由（1）、（3）得，,故x≠0，代人（2）解得，所以，54.检验知此组解满足原方程组.于是10X＋7y＋Z＝0．故选D5、解：图中只有边长为1或2的两种菱形，每个菱形恰有一条与其边长相等的对角线，原正三角形内部每条长为1的线段，恰是一个边长为1的菱形的对角线；这种线段有18条，对应着18个边长为1的菱形；原正三角形的每条中位线恰是一个边长为2的菱形的对角线，三条中位线对应着3个边长为2的

6、菱形；共得21个菱形.故选C6、解：设=，则据末位数字特征得y＝2，进而确定：因＝216000，＝343000，所以60＜＜70，故只有，=62，而＝238328，则＝38，＝32，＋=70.故选D二．填空题（每小题7分，共28分）7、解：据条件式令＝z，则（1）式化为：＝9，即有9-z＝+，平方得，81-18z＋＝……(2),又由==,代入（2）得，81-18z=4,所以.8、解：l＋2＋…＋61＝1891，2008—1891＝117，由于形如的页码被当成后，加得的和数将相差9，因为只能在1，2，…，9中取值，≤8，得9≤

7、72，由于117＝72＋45＝63＋54，设弄错的两位数是和，若9=72，9=45，只有＝19，而可以取l6，27，38，49；这时+的最大值是68；若9=63，9=54，则可以取18，29，而可以取17，28，39，+的最大值也是68．9、解：如右图，连OA，OB，OC，线段OA将阴影的上方部分剖分成两个弓形，将这两个弓形分别按顺时针及反时针绕点O旋转后，阴影部分便合并成△OBC，它的面积等于△ABC面积的三分之—，即等于.10、解：=，令＝a，＝b，得a＋b＝16，ab=4，a,b是方程的两个根，故得＝16a－4，＝16

8、b－4；＝16－4a，；所以+＝16（+）-4（a+b）＝16（16（a+b）一8）－4（a+b）=252（a+b）-128=3904.∵0＜b＜1，∴0＜＜1，∴的最大整数值不超过3903.三.解答题（共70分）11、解：当a＝0时，方程的有理根为；……5分以下考虑a≠0的情况，此时原方