1999年全国初中数学联赛(ⅰ)试题答案

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1、1999年全国初中数学联赛（Ⅰ）试题第一试选择题A．1B．-1C．2D．-22．△ABC的周长是24，M是AB的中点，MC=MA=5，则△ABC的面积是[]A．12B．16C．24D．303．设b＞a，将一次函数y=bx+a与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内，则有一组a、b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是[]A．540B．390C．194D．975．如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB=998，DC=1001，AD=1999，点P在线段AD上，则满足条件∠BPC=90°的点P的个数为[]A．0B．1C．2D．不

2、小于3的整数6．有下列三个命题：（甲）若α、β是不相等的无理数，则αβ+α-β是无理数；A．0B．1C．2D．3填空题2．如图，在△ABC中，∠B=36°，∠ACB=128°，∠CAB的平分线交BC于M，△ABC的外接圆的切线AN交BC的延长线于N，则△ANM的最小角等于______．3．已知a、b为整数，且满足则a+b=______．4．在正方形ABCD中，N是DC的中点，M是AD上异于D的点，且∠NMB=∠MBC，则tg∠ABM=______．第二试1．某班参加一次智力竞赛，共a、b、c三题．每题或者得满分或者得0分，其中题a满分2

3、0分，题b、题c满分分别为25分，竞赛结果，每个学生至少答对了一题，三题全答对的有1个，答对其中两道题的有15人，答对题a的人数与答对题b的人数之和为29；答对题a的人数与答对题c的人数之和为25；答对题b的人数与答对题c的人数之和为20．问这个班的平均成绩是多少分？2．如图，设△ABC是直角三角形，点D在斜边BC上，BD=4DC．已知圆过点C且与AC相交于F，与AB相切于AB的中点G．求证：AD⊥BF．3．a是大于零的实数，已知存在唯一的实数k，使得关于x的二次方程x2+(k2+ak)x+1999+k2+ak=0的两个根均为质数，求a

4、的值．1999年全国初中数学联赛（Ⅰ）参考答案一、选择题2．解∵MA=MB=MC=5，∴∠ACB=90°已知周长是24，则AC+BC=14，AC2+BC2=102，∴2AC·BC=(AC+BC)2-(AC2+BC2)=142-102=4×24图(A)中交点横坐标是负数，故图(A)不对．图(C)中交点横坐标是2≠1，故图(C)不对．图(D)中交点纵坐标是大于a小于b的数，不等于a+b，故图(D)不对，故选(B)．答：(B)4．解∵x2-100x+196=(x-2)(x-98)，∴当2≤x≤98时，

5、x2-100x+196

6、=-(x2-10

7、0x+196)∴当自变量x取2，3，…，98时函数值都为0．而当x取1，99，100时，

8、x2-100x+196

9、=x2-100x+196故所求的和为(1-2)(1-98)+(99-2)(99-98)+(100-2)(100-98)=97+97+196=390答：(B)5．解AD的中点M，对BC张成90°角；又在AD上，取点N，使AN=998，则ND=1001．由△ABN和△DCN都为等腰三角形推知，∠BNC=90°．注意到以BC为直径的圆与AD至多有两个交点，可知所求点的个数为2．答：(C)．二、填空题1．解∵(b-c)2=4(a-b

10、)(c-a)，即b2-2bc+c2=4ac-4bc+4ab-4a2，∴4a2+b2+c2-4ac-4ab+2bc=0，∴(b+c)2-4a(b+c)+4a2=0，∴[2a2-(b+c)]2=0，2．∵∠B=36°，∠ACB=128°，AM为∠CAB的平分线，∴∠CAM=∠MAB∴∠AMC=44°又AN为切线，∴∠NAC=∠B=36°，∠NAM=44°，∴∠N=180°-44°-44°=92°，∴△ANM的最小角为44°∴(3b-2)(3a-2)=4，而a、b为整数且不相等，故3b-2，3a-2只可能取值1，4或-1，-4．∵②无整数解，

11、由①，得b=1，a=2，∴a+b=3．4．解延长MN交BC的延长线于T，设MB的中点为O，连TO，则△BAM∽△TOB．即MB2=2AM·BT①令DN=1，CT=MD=k，则AM=2-k，三、解答题3．解设方程的两个质数根为p、q，由一元二次方程根与系数的关系，有p+q=-k2-ak①pq=1999+k2+ak②①+②，得p+q+pq=1999∴(p+1)(q+1)=24×53③由③知，p、q显然均不能为2，故必为奇数，