2012年全国初中数学联赛试题答案

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1、2012年全国初中数学联合竞赛试题参考答案第一试一、选择题：（本题满分42分，每小题7分）1．已知，，，那么的大小关系是（C）A.B.C.D.2．方程的整数解的组数为（B）A．3.B．4.C．5.D．6.3．已知正方形ABCD的边长为1，E为BC边的延长线上一点，CE＝1，连接AE，与CD交于点F，连接BF并延长与线段DE交于点G，则BG的长为（D）A．B．C．D．4．已知实数满足，则的最小值为（B）A．.B．0.C．1.D．.5．若方程的两个不相等的实数根满足，则实数的所有可能的值之和为（B）A．0.B．.C．.D．.6．

2、由1，2，3，4这四个数字组成四位数（数字可重复使用），要求满足.这样的四位数共有（C）A．36个.B．40个.C．44个.D．48个.二、填空题：（本题满分28分，每小题7分）1．已知互不相等的实数满足，则．2．使得是完全平方数的整数的个数为1．3．在△ABC中，已知AB＝AC，∠A＝40°，P为AB上一点，∠ACP＝20°，则＝．4．已知实数满足，，，则＝．第二试（A）一、（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为30，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜

3、边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以.根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以，因为均为整数且，所以只可能是解得所以，直角三角形的斜边长，三角形的外接圆的面积为.二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D.证明：.证明：连接OA，OB，OC.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.又由切割线定理可得，∴，∴D、B、C、O四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，∴.三．（本题满分25分）已知抛物线

4、的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.设M，若AM//BC，求抛物线的解析式.解易求得点P，点C.设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，，又AB的中点E的坐标为，所以AE＝.因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.又由DA＝DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）.又因为AM//BC，所以，即.把代入解得（另一解舍去）.因此，抛物线的解析式为

5、.第二试（B）一．（本题满分20分）已知直角三角形的边长均为整数，周长为60，求它的外接圆的面积.解设直角三角形的三边长分别为（），则.显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长，下面先求的值.由及得，所以.由及得，所以.又因为为整数，所以.根据勾股定理可得，把代入，化简得，所以，因为均为整数且，所以只可能是或解得或当时，，三角形的外接圆的面积为；当时，，三角形的外接圆的面积为.二．（本题满分25分）如图，PA为⊙O的切线，PBC为⊙O的割线，AD⊥OP于点D，△ADC的外接圆与BC的另一个交点为E.证明：∠BAE＝∠ACB.证明

6、：连接OA，OB，OC，BD.∵OA⊥AP，AD⊥OP，∴由射影定理可得，.又由切割线定理可得，∴，∴D、B、C、O四点共圆，∴∠PDB＝∠PCO＝∠OBC＝∠ODC，∠PBD＝∠COD，∴△PBD∽△COD，∴，∴，∴.又∠BDA＝∠BDP＋90°＝∠ODC＋90°＝∠ADC，∴△BDA∽△ADC，∴∠BAD＝∠ACD，∴AB是△ADC的外接圆的切线，∴∠BAE＝∠ACB.三．（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第三题相同.第二试（C）一．（本题满分20分）题目和解答与（B）卷第一题相同.二．（本题满分25分）题目和解答

7、与（B）卷第二题相同.三．（本题满分25分）已知抛物线的顶点为P，与轴的正半轴交于A、B（）两点，与轴交于点C，PA是△ABC的外接圆的切线.将抛物线向左平移个单位，得到的新抛物线与原抛物线交于点Q，且∠QBO＝∠OBC.求抛物线的解析式.解抛物线的方程即，所以点P，点C.设△ABC的外接圆的圆心为D，则点P和点D都在线段AB的垂直平分线上，设点D的坐标为.显然，是一元二次方程的两根，所以，，又AB的中点E的坐标为，所以AE＝.因为PA为⊙D的切线，所以PA⊥AD，又AE⊥PD，所以由射影定理可得，即，又易知，所以可得.又由

8、DA＝DC得，即，把代入后可解得（另一解舍去）.将抛物线向左平移个单位后，得到的新抛物线为.易求得两抛物线的交点为Q.由∠QBO＝∠OBC可得∠QBO＝∠OBC.作QN⊥AB，垂足为N，则N，又，所以∠QBO＝＝.又∠OBC＝，所以.解得（另一解，舍去）.因此，抛物线的解析式为.