复合函数的单调性例讲

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1、-.复合函数的单调性例讲五寨一中摄爱忠高考主要考察：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数围问题．①“中间变量〞是形成问题转化的桥梁.②函数思想是解决问题的关键．复合函数定义：1.设定义域为Ａ，的值域为Ｂ，假设，那么关于的函数叫做函数与的复合函数，叫中间变量．外函数：；函数：复合函数的单调性：同增异减.2.假设那么增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数3.求解复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为假设干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常

2、见函数的单调性；(4)将中间变量的取值围转化为自变量的取值围；(5)求出复合函数的单调性。.word.zl.-.题型1：外函数都只有一种单调性的复合型.例题1：◇函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，那么a的取值围是()(A).(0,1)(B).(1,2)(C).(0,2)(D).2，+∞)解：设y=logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，∵函数y=logau在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，∴y=logau是u∈(0,+∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，

3、令g(x)=2-ax，由{，解得a<2，∴10知函数的定义域为，因y=log0.5u在u∈(0,+∞)上是减函数，而u=x2+4x+4在x∈(-∞，-3)上是减函数，在(-1，+∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=log0.5(x2+4x

4、+4)在x∈(-∞，-3)上是增函数；在x∈(-1，+∞)上是减函数.变式训练：◇讨论函数的单调性。解：函数定义域为R.令u=x2-4x+3，y=0.8u。指数函数在u∈(-∞，+∞)上是减函数，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，.word.zl.-.∴函数在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。这里没有第四步，因为中间变量允许的取值围是R，无需转化为自变量的取值围。题型3：外函数有两种单调性函数有一种单调性的复合型.例题3：◇函数y=2sin(-2x)的单调递增区间是()(A).(B).(C).(D

5、).解：令y=sinu，u=-2x，∵u=-2x是R上的减函数，而y=sinu在u∈[2kπ+，2kπ+](k∈Z)上单调递减，根据函数单调性的复合规律，令2kπ+≤-2x≤2kπ+得:当k=0时，，应选(A).例题4：◇讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性.解：显然函数定义域为(0，+∞).令u=log2x，y=u2+u∵u=log2x在(0，+∞)上是增函数，y=u2+u在(-∞，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数【注意】:(-∞，]及[，+∞)是u的取值围.令，那么0＜x≤，(u≥log2x≥x≥)所以y=(log2x)2+lo

6、g2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。用数轴标单调区间如下：.word.zl.-.①求复合函数的定义域；②求函数在定义域的单调区间；③求外函数的单调区间；④求外函数对函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减〞写出复合函数的单调区间.变式训练：◇求函数的单调区间．【解析】〔1〕此函数的定义域：；〔2〕此函数是由函数复合所得；〔3〕层函数的单调区间：函数在单调递减；〔4〕外层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增；〔5〕根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递增；在单调递减．【评注】：给出复合函数的

7、单调区间，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的围，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的围.◇函数的单调递减区间是；单调递减区间是.题型4：外函数都有两种单调性的复合型.例题5：.word.zl.-.◇函数那么〔A〕在区间上是减函数〔B〕在区间上是减函数〔C〕在区间上是增函数〔D〕在区间上是增函数【解析】设，，外函数：增区间；减区间；函数：增区间；减区间当时，，即＜1，x＞1或x＜-1；当时，即≥1，-1≤x≤1用数轴标出单调区间如下：显然，A正确.变式训练：◇函数那么的递增区间是.【解析】设，；外函数：减区间；增区间函数：减区间

8、；增区间令；再令..word.zl.-.用数轴标出单调区间如下：故的单调递增区间为和.①求复合函数的定义域；②求函数在定义