复合函数的单调性例讲

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1、WORD格式可编辑复合函数的单调性例讲山西忻州五寨一中摄爱忠高考主要考查：①求复合函数的单调区间；②讨论含参复合函数的单调性或求参数范围问题．①“中间变量”是形成问题转化的桥梁.②函数思想是解决问题的关键．复合函数定义：1.设定义域为Ａ，的值域为Ｂ，若，则关于的函数叫做函数与的复合函数，叫中间变量．外函数：；内函数：复合函数的单调性：同增异减.2.若则增函数增函数增函数减函数减函数增函数增函数减函数减函数减函数增函数减函数3.求解复合函数的单调性的步骤如下：(1)求复合函数定义域；(2)将复合函数分解为若干个常见函数(一次、二次、幂、指、对函数)；(3)判断每个常见函数的单调性；(4)

2、将中间变量的取值范围转化为自变量的取值范围；(5)求出复合函数的单调性。题型1：内外函数都只有一种单调性的复合型.例题1：◇已知函数y=loga(2-ax)在[0,1]上是x的减函数，则a的取值范围是()专业技术资料整理分享WORD格式可编辑(A).(0,1)(B).(1,2)(C).(0,2)(D).2，+∞)解：设y=logau，u=2-ax，∵a是底数，所以a>0，∵函数y=logau在u∈[0,1]上是减函数，而u=2-ax在区间x∈[0,1]上是减函数，∴y=logau是u∈(0,+∞)上的增函数，故a>1，还要使2-ax>0在区间上总成立，令g(x)=2-ax，由{，解得a

3、<2，∴10知函数的定义域为，因y=log0.5u在u∈(0,+∞)上是减函数，而u=x2+4x+4在x∈(-∞，-3)上是减函数，在(-1，+∞)上是增函数，根据复合规律知，函数y=log0.5(x2+4x+4)在x∈(-∞，-3)上是增函数；在x∈(-1，+∞)上是减函

4、数.变式训练：◇讨论函数的单调性。解：函数定义域为R.令u=x2-4x+3，y=0.8u。指数函数在u∈(-∞，+∞)上是减函数，u=x2-4x+3在(-∞，2]上是减函数，在[2，+∞)上是增函数，∴函数在(-∞，2]上是增函数，在[2，+∞)上是减函数。这里没有第四步，因为中间变量允许的取值范围是R，无需转化为自变量的取值范围。题型3：外函数有两种单调性内函数有一种单调性的复合型.例题3：专业技术资料整理分享WORD格式可编辑◇函数y=2sin(-2x)的单调递增区间是()(A).(B).(C).(D).解：令y=sinu，u=-2x，∵u=-2x是R上的减函数，而y=sinu在u

5、∈[2kπ+，2kπ+](k∈Z)上单调递减，根据函数单调性的复合规律，令2kπ+≤-2x≤2kπ+得:当k=0时，，故选(A).例题4：◇讨论函数y=(log2x)2+log2x的单调性.解：显然函数定义域为(0，+∞).令u=log2x，y=u2+u∵u=log2x在(0，+∞)上是增函数，y=u2+u在(-∞，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数【注意】:(-∞，]及[，+∞)是u的取值范围.令，则0＜x≤，(u≥log2x≥x≥)所以y=(log2x)2+log2x在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数。用数轴标单调区间如下：①求复合函数的定义域；②求内函数在定义域内的单

6、调区间；③求外函数的单调区间；④求外函数对内函数变量所对应的单调区间；⑤在数轴上标出②④按“同增异减”写出复合函数的单调区间.专业技术资料整理分享WORD格式可编辑变式训练：◇求函数的单调区间．【解析】（1）此函数的定义域：；（2）此函数是由函数复合所得；（3）内层函数的单调区间：函数在单调递减；（4）外层函数的单调区间：函数在单调递减，单调递增；（5）根据复合函数的单调性规律，写出复合函数的单调区间：函数在单调递增；在单调递减．【评注】：给出复合函数的单调区间，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围，必须将外层函数中的调整为复合函数的自变量等价的范围.◇函数的单调递减区间

7、是；单调递减区间是.题型4：内外函数都有两种单调性的复合型.例题5：◇已知函数则（A）在区间上是减函数（B）在区间上是减函数（C）在区间上是增函数（D）在区间上是增函数【解析】设，，外函数：增区间；减区间；专业技术资料整理分享WORD格式可编辑内函数：增区间；减区间当时，，即＜1，x＞1或x＜-1；当时，即≥1，-1≤x≤1用数轴标出单调区间如下：显然，A正确.变式训练：◇已知函数则的递增区间是.【解析】设，；外函数：减区间；增区间内函数：减区