排列组合问题的解题技巧

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时间:2018-01-23

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1、排列组合问题的解题技巧  陕西武功梁小宁  排列组合问题历来是高中数学教学的一个难点,其思考方法独特,求解思路灵活,因而在解题中极易出现“重复”或“遗漏”的错误.虽然近几年高考将侧重点放在两个计数原理的考察上,但当对问题类型把握准确时,解答的准确性上将会有很大的提升,解答速度也会大大提高.以下介绍几类典型排列组合问题的解答技巧:    1、相邻问题捆绑法    例1 6名同学排成一排,其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()种。    A、720  B、360  C、240  D、120    解:因甲、乙两人要排在一起,故将甲乙

2、两人捆在一起视作一人有                                      种排法,与其余四人进行全排列有    种排法,由乘法原理可知,共有        =240种不同排法,故选(C)。    点评:从上述解法可以看出,所谓“捆绑法”,就是对元素进行整体处理的形象化表述,体现数学中的整体思想。对于以“某些元素必须相邻”为附加条件的排列组合问题,只要把必须相邻的元素“捆”成一个整体,视作一个“大”元素,再考虑相邻元素内部的排列或组合,就能保证这些元素相邻而不散乱。    训练:3名男教师,3名女教师,6名学生

3、站成一排,要求男教师和女教师必须站在一起,且教师不站在两端,则一共有多少种站法?  2、相隔问题插空法    例2 排一张5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单  (1)任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种?  (2)舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种?  解:(1)先排歌唱节目有    种,歌唱节目及两端有6个空位,从这6个空位中选4个放入舞蹈节目,共有    种方法,所以任何两个舞蹈节目不相邻的排法有    种。  (3)先排舞蹈节目有    种排法,在舞蹈节目和两端有5个空位,恰好供5个歌唱节目放入,所以舞蹈节目和歌唱节

4、目间隔排列的方法有    种。  训练:若将例题当中的“4个舞蹈节目”改为“5个舞蹈节目”,求舞蹈节目和歌唱节目间隔排列的方法有多少种?  点评:从解题过程可以看出,“插”的策略是解决排列与组合中若干特殊元素互不相邻问题的常用手段。在具体操作时,可以先将其它元素排好,再将所指定的不相邻的元素“插入”到它们的间隙及两端位置,从而保证它们不相邻。   3、限定问题优限法    例3 由数字0,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的四位偶数?  解:因所求是偶数,所以个位必须是0,2,4中的任何一个,又首位不能为0,所以分个位为0时有

5、    种,个位不为0时有    种。所以共有    种。  点评:所谓“优限法”,即有限制条件的元素(或位置)在解题时优先考虑,本题对四位偶数中的个位数字有特殊要求,首位数字又不能为0,故优先考虑。  训练本例条件不变,问题改为“求能组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数?”,应如何求解?  4、多元问题分类法  例4三边长均为整数,且最大边长为11的三角形有多少个?  解:设三角形的另外两个边分别为x和y,且不妨设    ,要构成三角形,必有    则分类讨论如下:  当y为11时,x可以为:1,2,3,…,11,可有11

6、个三角形;  当y为10时,x可以为:2,3,4,…,10,可有9个三角形;        当y为9时,x可以为:3,4,5,…,9,可有7个三角形;  当y为8时,x可以为:4,5,6,7,8,可有5个三角形;  当y为7时,x可以为:5,6,7,可有3个三角形;  当y为6时,x可以为:6,只有1个三角形;  所以所求的三角形有11+9+7+5+3+1=36个。  点评:元素多,取出的情况也多种,可按结果要求,分成互不相容的几类情况分别计算,最后总计。  训练某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分,如图,现要栽4种不同颜

7、色的花,每一部分栽种一种且相邻部分不能栽同种颜色的花,不同的栽种方法有多少种?  5、标号排位问题分步法  例5同室4人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡,则四张贺年卡的分配方式有()  A.6种B.9种C.11种D.23种  解:此题可以看成是将数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,且每个方格的标号与所填数不同的填法问题。所以先将1填入2至4号的3个方格里有    种填法;第二步把被填入方格的对应数字,填入其它3个方格,又有    种填法;第三步将余下的两个数字填入余下的

8、两格中,只有1种填法。故共有3×3×1=9种填法,而选B。  点评:把元素排在指定号码的位置上称为标号排位问题。求解这类问题可先把某个元素按规定排放,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成。  训练:将标有1,2,…10的1

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