排列组合解题技巧

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1、排列组合应用题的解法排列组合应用题的解题方法既有一般的规律，又有很多特别的技巧，它要求我们要认真地审题，对题目中的信息进行科学地加工处理。下面通过一些例题来说明几种常见的解法。一.运用两个基本原理加法原理和乘法原理是解排列组合应用题的最基本的出发点，可以说对每道应用题我们都要考虑在记数的时候进行分类或分步处理。1：n个人参加某项资格考试，能否通过，有多少种可能的结果？解法1：用分类记数的原理，没有人通过，有种结果；1个人通过，有种结果，……；n个人通过，有种结果。所以一共有种可能的结果。解法2：用分步记数的原理。第一

2、个人有通过与不通过两种可能，第二个人也是这样，……，第n个人也是这样。所以一共有种可能的结果。2.5名运动员争夺3个项目的冠军（没有并列），所以可能的结果有多少种？分析：因为同一运动员可以同时夺得几项冠军，故运动员可以重复排列，将5名运动员看作五个信箱，3项冠军看成3封信，每封信可以投进五个信箱，有5种投递方法。由乘法原理知有53种。答案：53种二.特殊元素（位置）优先1.6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？分析：解有限制条件的元素（位置）这类问题常采取特殊元素（位置）优先安排的方法。解法1：

3、（元素分析法）因为甲不能站左右两端，故第一步先让甲排在左右两端之间的任一位置上，有种站法；第二步再让其余的5人站在其他5个位置上，有种站法，故站法共有：＝480（种）解法2：（位置分析法）因为左右两端不站甲，故第一步先从甲以外的5个人中任选两人站在左右两端，有种；第二步再让剩余的4个人（含甲）站在中间4个位置，有种，故站法共有：（种）440种排法。2.8人站成两排，每排4人，甲在前排，乙不在后排的边上，一共有多少种排法？解：先排甲，有种排法。再排乙，有种排法，再排其余的人，又有种排法，所以一共有种排法。三.相邻问题捆

4、绑法8人排成一排，甲、乙必须分别紧靠站在丙的两旁，有多少种排法？解：把甲、乙、丙先排好，有种排法，把这三个人“捆绑”在一起看成是一个，与其余5个人相当于6个人排成一排，有种排法，所以一共有=1.四.不相邻问题插空法排一张有8个节目的演出表，其中有3个小品，既不能排在第一个，也不能有两个小品排在一起，有几种排法？解：先排5个不是小品的节目，有种排法，它们之间以及最后一个节目之后一共有5个空隙，将3个小品插入进去，有种排法，所以一共有=7200种排法。五．定序问题用除法对于在排列中，当某些元素次序一定时，可用此法。解题方

5、法是：先将n个元素进行全排列有种，个元素的全排列有种，由于要求m个元素次序一定，因此只能取其中的某一种排法，可以利用除法起到调序的作用，即若n个元素排成一列，其中m个元素次序一定，则有种排列方法1.A、B、C、D、E五个人并排站成一排，如果B必须站A的右边(A、B可不相邻)，那么不同的排法种数有[]A．24种B．60种C．90种D．120种分析B在A右边与B在A左边排法数相同，所以题设的排法只是560B个元素全排列数的一半，即＝种，故选．1255A2.10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共

6、有多少种排法？解：甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为。六．排列、组合综合问题用先选后排的策略1.将4名教师分派到3所中学任教，每所中学至少1名教师，则不同的分派方案共有多少种？解：可分两步进行：第一步先将4名教师分为三组（1，1，2），（2，1，1），（1，2，1），共有：（种），第二步将这三组教师分派到3种中学任教有种方法。由分步计数原理得不同的分派方案共有：（种）。因此共有36种方案。2.9名乒乓球运动员，其中男5名，

7、女4名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同分组法？分析CCPCCP524222524222先取男、女运动员各二名，有种；这四名运动员混双练习有种排法，故共有种分组法．3.四个不同的球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法共有________种分析CACA14442434243先取四个球中的二个为一组，另二组各一个球的方法有种；再排：在四个盒中每次排三个有种，故共有＝种．七．“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题，用间接法较方便．1.以一个正方体顶点为顶点的四面体共有A．70个B．64个C．58

8、个D．52个面体，但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体，所2.正六边形中心和顶点共7个点，以其中3个点为顶点的三角形共有________个．3.从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台，其中至少要甲型和乙型电视机各一台，则不同取法共有A．140种B．80种C．70种D．35种分析逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取