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时间:2019-07-11
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1、有关排列组合的常用解题技巧1.相邻问题并组法题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列.【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排,如果A、B必须相邻且B在A的右边,那么不同的排法种数有[]A.60种 B.48种C.36种 D.24种分析把A、B视为一人,且B固定在A的右边,则本题相当于42.相离问题插空法元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.【例2】七个人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻
2、,那么不同排法的种数是[]A.1440B.3600C.4820D.48003.定序问题缩倍法在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序,可用缩小倍数的方法.【例3】A、B、C、D、E五个人并排站成一排,如果B必须站A的右边(A、B可不相邻),那么不同的排法种数有[]A.24种B.60种C.90种D.120种分析B在A右边与B在A左边排法数相同,所以题设的排法只是4.标号排位问题分步法把元素排到指定号码的位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.【例4】将
3、数字1,2,3,4填入标号为1,2,3,4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有[]A.6种B.9种C.11种D.23种分析先把1填入方格,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法,故选B.5.有序分配问题逐分法有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,可用逐步下量分组法.【例5】有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,从10人中选出4人承担这三项任
4、务,不同的选法总数有[]A.1260种B.2025种C.2520种D.5040种分析先从10人中选出2个承担甲项任务,再从剩下8个中选1人承担乙项任务,第三步从另外7人中选1个承担两项任务,不同的选6.多元问题分类法元素多,取出的情况也有多种,可按结果要求,分成不相容的几类情况分别计算,最后总计.【例6】由数字0,1,2,3,4,5组成且没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有[]A.210个B.300个C.464个D.600个分析按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况
5、,【例7】从1,2,3,…100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?分析被取的两个数中至少有一个能被7整除时,它们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集Ⅰ,能被7整除的数的集合记作A,则A={7,14,…98}共有14个元素,不能被7整除【例8】从1,2,…100这100个数中,任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少?分析将Ⅰ={1,2,…,100}分成四个不相交的子集,能被4整除的数集A={4,8,…,100};
6、被4除余1的数集B={1,5,…,97};被4除余2的数集为C={2,6,…98};被4除余3的数集为D={3,7,…99},易见这四个集合,每一个都含25个元素;从A中任取两个数符合要求;从B、D中各取一个数的取法也符合要求;从C中任取两个数的取法同样符合要求;此外其它取法都7.交叉问题集合法某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式n(A∪B)=n(A)+n(B)-n(A∩B)【例9】从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同
7、参赛方法?分析设全集Ⅰ={6人中任取4人参赛的排列},A={甲第一棒的排列},B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:8.定位问题优先法某个(或几个)元素要排在指定位置,可先排这个(几个)元素,再排其他元素.【例10】1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念,若老师不在两端,则有不同的排法有________种.9.多排问题单排法把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑,再分段处理.【例11】6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是[]A.36B.120
8、C.720D.1440.分析前后两排可看成一排的两段,因此本题可视为6个不同元素【例12】8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素要排在后排,有多少种排法?(高中代数甲种本第三册P82,23②).10.“至少”问题间接法关于“至少”类型组合问题,用间接法较方便.【例13】从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同取法共有[]A.140种B.80种C.70种D.35种分析逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取
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