高三数学9.7多面体与正多面体教案

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1、多面体与正多面体●知识梳理1.每个面都是有相同边数的正多边形，每个顶点为端点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体.2.正多面体有且只有5种.分别是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体.●点击双基1.一个正方体内有一个内切球面，作正方体的对角面，所得截面图形是答案：B2.正多面体只有_____________种，分别为________________.答案：5正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体3.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、BB1的中点，则直线

2、AM与CN所成的角的余弦值是_____________.解析：过N作NP∥AM交AB于点P，连结C1P，解三角形即可.答案：●典例剖析【例1】已知甲烷CH4的分子结构是中心一个碳原子，外围有4个氢原子（这4个氢原子构成一个正四面体的四个顶点）.设中心碳原子到外围4个氢原子连成的四条线段两两组成的角为θ，则cosθ等于A.－B.C.－D.解析：将正四面体嵌入正方体中，计算易得cosθ==－（设正方体的棱长为2）.答案：A【例2】试求正八面体二面角的大小及其两条异面棱间的距离.解：如图，设正八面体的棱长为4a，

3、以中心O为原点，对角线DB、AC、QP为x轴、y北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（0，－2a，0）、B（2a，0，0）、C（0，2a，0）、P（0，0，2a），设E为BC的中点，连结PE、QE、OE，则∠PEQ=2∠PEO即为所求二面角的平面角，∵OE=2a，OP=2a，∴tan∠PEO=，∠PEQ=2arctan.设n=（x，y，z）是AB与PC的公垂线的一个方向向量，则有n·=x+y=0，n·=y－z=0，解得n=（－1，1，1），所以向量=（－2a，2

4、a，0）在n上的射影长d==即为所求.特别提示由于正多面体中的等量关系、垂直关系比较多，所以便于建立直角坐标系，运用解析法处理.要注意恰当选取坐标原点，一般取其中心或顶点（如正四棱柱）.【例3】三个12×12cm的正方形，如图，都被连结相邻两边中点的直线分成A、B两片〔如图（1）〕，把6片粘在一个正六边形的外面〔如图（2）〕，然后折成多面体〔如图（3）〕，求此多面体的体积.解法一：补成一个正方体，如图甲，V=V正方体=×123=864cm3.甲乙解法二：补成一个三棱锥，如图乙，V=V大三棱锥－3V小三棱锥

5、=864cm3.思考讨论北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台补形的方法可将不规则的几何体转化成规则的几何体，这是求多面体体积的常用方法.●闯关训练夯实基础1.每个顶点处棱都是3条的正多面体共有A.2种B.3种C.4种D.5种解析：正多面体只有5种.答案：B2.如图，在棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，E、F分别为AB、BC的中点，则异面直线C1O与EF的距离为_____________.答案：培养能力3.四面体的一条棱长是x，其他各条棱长为1.（1）把四面

6、体的体积V表示为x的函数f（x）；（2）求f（x）的值域；（3）求f（x）的单调区间.解：（1）设BC=x，则S到平面ABC的垂足O是△ABC的外心，连结AO并延长交BC于D，则D是BC的中点，且AD⊥BC，求得AD=，S=.设△ABC的外接圆的半径为R，求得R=，SO=，∴V=S·SO=（0＜x＜）.（2）f（x）===，∵0＜x2＜3，∴f（x）∈（0，）.北京家教上海家教找家教上阳光家教网全国最大家教平台（3）∵当x=时，f（x）取得最大值，又∵0＜x＜，∴f（x）的单调递增区间是（0，］，递减区间是

7、［，）.4.（文）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，O为AC与BD的交点，M为DD1的中点.（1）求证：直线B1O⊥平面MAC；（2）求二面角B1—MA—C的大小.（1）证明：∵BB1⊥平面ABCD，OB⊥AC，∴B1O⊥AC.连结MO、MB1，则MO=，B1O=，MB1=3.∵MO2+B1O2=MB12，∴∠MOB1=90°.∴B1O⊥MO.∵MO∩AC=O，∴B1O⊥平面MAC.（2）解：作ON⊥AM于点N，连结B1N.∵B1O⊥平面MAC，∴AM⊥平面B1ON.∴B1N⊥AM.∴∠B1N

8、O就是二面角B1—MA—C的平面角.∵AM=，CM=，∴AM=CM.又O为AC的中点，∴OM⊥AC.则ON=OAsin∠MAO==.在Rt△B1ON中，tan∠B1NO==，∴∠B1NO=arctan，即所求二面角的大小为arctan.说明：本题的两问是递进式的，第（1）问是为第（2）问作铺垫的.第（2）问中构造二面角的平面角的方法是典型的三垂线法.（理）在边长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别