矢量分析与场论a卷2011答案

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1、--------------------------------------------------------------------　密　----------------------------　封　---------------------------　线　-----------------------------------------------------------（答题不能超出密封装订线）班　级（学生填写）：　　　　　　　　姓名：　　　　　　　学号：　　　　　　　命题：　廖思泉　　　　　　审题：　　　　　　　审批：　　　　　　　《矢量分析与

2、场论》期末考查A卷试题答案一、名词解析（含定义、算法、物理意义等个，每小题5分，共20分）1．通量定义：矢量A沿某一有向曲面S的面积分为A通过S的通量，即----------------------3分物理意义：矢量通过闭合面的通量反映了闭合面内源的性质。--------5分2．矢量的旋度定义：在矢量场A中，围绕Q点做一闭合回路，所围面积为DS，A的旋度是矢量，其大小为DS®0时环流面密度的最大值，其方向为使环流面密度取最大值时面元的法线方向，即--------3分物理意义：矢量的旋度是环流面密度的最大值，与面元的取向有关。-------5分3．标量的梯度

3、定义：标量场u在某点的梯度是一个矢量，其方向为u增加最大的方向，即等值面法线方向；其大小等于u在该方向上的增加率，即最大增加率。---------3分物理意义：标量的梯度表示了标量u增加率的最大值及方向。---------5分4、保守场Ñu沿线积分与路径无关，沿闭合回路的积分为零。即------------3分则Ñu称为保守场，u称为保守位场。------------5分二、计算题（每小题10分，共70分）1、数量场在点处沿哪个方向的方向导数最大？这个最大值是多少？（本小题10分）第4页（共3页）解：最大值为。2、求矢量场在点处的散度。（本小题10分）解：

4、3、求矢量场沿曲线：的环量。（本小题10分）解：方法2：令，则圆周的方程成为，于是环量4、求矢量场从内穿出闭曲面的通量。（本小题10分）解：其中为S所围之球域今用极坐标计算，有第4页（共3页）5、求矢量场的散度和旋度。（本小题10分）解：6、已知平面调和场的力函数，求场的势函数及场矢量。（本小题15分）解：7、证明矢量场为调和场，并求其调和函数。（本小题15分）证明：（1）由于（2）调和函数为：第4页（共3页）三、问答题（共10分）1．根据自身专业，列举一专业实例说明学习本课程的作用。（略）第4页（共3页）