矢量分析与场论课后答案..

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1、矢量分析与场论习题11.写出下列曲线的矢量方程，并说明它们是何种曲线。(1)x=acost,y=bsint解:（1）r=acost也isintj,其图形是xOy平面上之椭圆。（2）r=3sinti+4sintj-Scostk,其图形是平面4x3yQ与圆柱面+2=32z之交线,为一椭圆。=24・求曲线23xt,ytfzt的一个切向单位矢量3解：曲线的矢量方程为_（2）x=3sint,y=4sint,z=3costdr2++模为—2-4-1=2—4+II14tttdtn=—■dr=dr2tkI2tj/II于是切向单位矢量为++2■■dfdt2t21处的一个切向矢

2、量O6求曲线xasint,yasin2t,zacost,在t4法平面方程。2itjttk2解：由题意得M(5,5,4),曲线矢量方程为r(t1)(43)(26),_dr=—=+=++在广2的点M处，切向矢量丫[tr4j4f6)k]=24i4j2k+lt+A3k1解：曲线切向矢量为dr±•亠dj=2(——dt+-—+————+x5y5z4x5y5z4于是切线方程为，即_<2221+于是法平面方程为2(x5)2(y5)(z4)0,即=++++=2x2yz160T=—=++23上的这样的点，使该点的切线平行于平面x2yz4o8.求曲线rtit1tk平面的法矢量为n

3、i2jk,由题知2i2tj3tk得t1,将此依次代入⑴式，得（一27故所求点为27习题并求出其等值面。1AxCz解:1场所在的空间区域是除AxByCzD0外的空间。等值面为11C或AxByCzDO（Ci0为任意常数），这是与平AxByCzD1C222+（2）场所在的空间区域是除原点以外的

4、M1,1,2的等值面方程。（z）解：经过点册",2+等值面方程为2222111,UXXz222,是除去原点的旋转抛物面。+_=即zxy3.已知数量场Gxy,）求场中与直线x2y40相切的等值线方程。解：=设切点为一-Xo,,笔值面方程为xycXoyo,因相切，则斜率为y1k(°)即Xo2y0X2+Q-=点xo,yo套所给屋线上，有Xo2y040解之得yo1,Xo2++故xy2解矢量线满足的微分方程为Adr0,dx=dydf或222xyxyzydxdz有1■x=224.求矢量Axyixyjzyk的矢量线方程。xdxydyxz向co导s数在解所。点:以M4(2,

5、x0,-y一21(4x0)C处i),c有os00232z3k+1244fi3uk,其方向余弦U为12,,cos•x1yj—xz•40,3x2z22y2(C,c解之得5为任意常数—1+2+yzyzC"x2通过煮-M■了2m的矢量线方程。5.求矢量场(Xy)zkdxdydz71dy2y—=—+

6、,1,1处沿曲线Xt,yt,zt朝t增大一方的方向导数。曲线上点解：所求方向导数，等于函数u在该点处沿曲线上同一方向的切线方向导数。最大值为graduM所176411o对应的参数为t=1，从而在点M处沿M所取方向，曲线的切向方向导数为_dz=2-3'—2?"=3t1dta123其左向I余弦为cc■=+c_cos=,cps=一,cbs—141414&uuu'X="—又=e(GkZ-jy)MCMVVXyzMMMM于是所求方向导酸为).u—4(cos1(1)25324MC)•14141414X233.求薮量uxyz在点场向导数最左ezzzU人A处沿哪个方向的方cc

7、解:gradu时，方向导数最大。graduk)xzjx2yz2k3i23即函(数2xuy沿z梯度g一rad一u3M4i4j12k方向的方向导数最大1213=40,,1,~,26W值线，并画出场在Mi(2,2)与点•画出平面场u(X=22=2M(3,7)处的梯度矢量，看其是否符合下面事实：-=+=(1)梯度在等值线较密处的模较大，在较稀处的模较小;(2)在每一点处，梯度垂直于该点的等值u删的方向。线，并指向y20,X222o2y2,XX,其「I写为2解：所述等值线的方程为：X4,