【教学建议】运用向量法求解立体几何探索性问题 3

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1、金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com运用向量法求解立体几何探索性问题　　立体几何探索性问题是近年高考或各地模拟考试中的热点题型．向量作为一种工具，在解决立体几何探索性问题中有着无比的优越性．运用向量法解题，可使几何问题代数化，大大简化思维程序，使解题思路直观明了．下面举例说明向量法在求解两类立体几何探索性问题中的运用．　　一、条件探索型　　所谓“条件探索型”是指给出了问题的明确结论，但条件不足或未知，需要解题者探求、寻找使结论成立的条件的一类问题，这类问题的常用解法是逆推法，利用结论探求条件．　　例1　如图1，棱长为１的正方体，E是BC的中点，F是棱CD

2、上的动点（非C、D两点），设二面角的大小为．试确定F点的位置，使得．　　解析：以A为坐标原点，建立如图1所示的直角坐标系，则．设，易知．设是平面的一个法向量，则令，则．　　又是平面的一个法向量，∴．结合条件知可取，故，解得或（舍）．第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com故当是CD的中点时，．二、存在型所谓“存在型”是指结论不确定的问题，即在数学命题中，结论常以“是否存在”的形式出现，其结果可能存在，需要找出来；可能不存在，则需要说明理由．解答这一类问题时，先假设结论存在，若推证无矛盾，则结论存在；若推证

3、出矛盾，则结论不存在．例2　已知正三棱柱的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点．在直线上是否存在一点Ｎ，使得？若存在，请你求出它的位置；若不存在，请说明理由．解：假设在直线上存在一点Ｎ，使得．如图2，建立空间直角坐标系，有，∴．∵，∴，解得，，即时，．用法向量求距离一、求异面直线间的距离如图1，若是异面直线的公垂线段，分别为上的任决两点．令向量，则．分析：，．，．第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com．两异面直线间的距离为（其中与垂直，分别为两异面直线上的任意两点）．例1如图2，在正方体中，为的中点

4、且正方体棱长为2．求异面直线和间的距离．解析：以为原点，建立如图2所示的空间直角坐标系，则．设和公垂线段上的向量为，则即．又，，所以异面直线和间的距离为．二、求点到平面的距离如图3，已知为平面的一条斜线段，为平面的法向量．求证：点到平面的距离．分析：，．例2如图4，已知是各条棱长均等于的正三棱柱，是侧棱的中点．求点到平面的距离．第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com解析：为正方形，．易得平面平面，面，是平面的一个法向量．设点到平面的距离为，则．三、求直线到平面的距离例3如图5，已知边长为的正三角形中，分

5、别为和的中点，面，且，设平面过且与平行．求与平面间的距离．解析：设的单位向量分别为，选取作为空间向量的一个基底．易知，，，，．设是平面的一个法向量，则，．即解得．第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com直线与平面间的距离．四、求两平行平面间的距离例4如图6，在棱长为1的正方体中．求平面与平面间的距离．解析：建立如图所示的空间直角坐标系，易知平面与平面平行．设平面的一个法向量，则即．平面与平面间的距离．第5页共5页金太阳新课标资源网wx.jtyjy.com