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1、浅谈向量法求解立体几何摘要空间向量的方法是使用向量的代数方法去解决立体几何问题。介理的运用向量解决立体几何问题，很大程度上避开了思维的高度转换，避免了添加辅助线，代Z以向暈计算，是立体儿何问题变的思路顺畅、运算简单。关键词垂直角距离引言向量作为工具性知识已列入屮学数学教材屮，其价值意义已为我们所认同，事实上，向量的引入揭示了数学知识之间的纵横联系,进一步发展和完善了中学数学知识结构体系，拓宽了研究和解决数学问题的思维和通道。求空间距离、角及证明空间平行、垂直关系是立体几何题盛行不衰的主题。利用空间向量的模及向最在单位向最上的射影，可以解决有关距离问题。利川向量法处理这些问题，具冇很
2、强的操作性与稳定性。下面我们就利用向量法来求解立体几何中的有关问题。一利用空间坐标求法向量在求平而的法向量问题时,我们应先设出法向量的坐标，然后在平面内找两相交的向量,根据法向量同这两向量的乘积都为零这一性质，从而把法向虽求出来。例1已知三点4(2,3,-3),3(4,5,-2),C(6,8,0)求与平面ABC垂直的一个法向量的法单位向量。解假设：是与平而ABC垂直的某一个向量，设此向量为：二(兀,”1),则7丄忑且7丄AC,因为AB=(2,2,1),AC=(4,5,3),由斤丄AB及斤丄AC,得2x+2y+l=01f1及4尢+5y+3=0,解得x=-y=-l,故/?=(-,-1,
3、1)即为平面ABC的一个法向量，22一3—h21122又〃二故所求一个法单位向量为％二丄二土(厶-1,1)二(丄厂土二)2n32333说明为了求〃这个未知向量，按理应当设—(Qy'G),但是因为相差一个常数因了并不影响其与平而ABC的垂直性。由7=(兀、⑺二才(与，匚1),令厶二■弓二y于是可设«=(x,y,l)，同理也可设：=(l,y,z)或(兀,l,z)，这样做可以减少一个待定的未知数。二利用向量法证明平行问题在证明线面平行的问题时，可以转化为在平面内找两相交的向量去表示这一向量。例2底面是菱形的四棱锥P-ABCD中，ZABC=60°PA=PC=aPB=PD二辰，点E在PD上，
4、且PE:PD二2:1,PA丄四而体ABCD。如图1。问在棱PC上是否存在一点F,使BF//平而AEC.证明你的结论。证明设当F是棱PC的中点时，BF//平面4EC。因为=CP2D=aB+-(c5+dp)2—1■3■=AD+-CD+-DE22—*1r—-3rr二AD+—(AD-AO+-(AE-AD)22=-AE--AC22又BFU平面AEG从而BF//平面ABC所以BF,AE,疋共面说明由上例分析得：在证明线血平行的问题时，如果我们可以在平血内找到两个相交向量去表示这一向量，我们就说这-向量与平面平行。因为向量是町以平移的。三利用向量法证明垂直问题在证明线与线垂直的问题时，我们可以利
5、用向量的方法把两直线所在向量分别表示出來，然后证明这两向量垂直即可。例3在三棱锥S-ABC中，三角形ABC是边长为4的正三角护，平hSAC丄平面*zN分别为AE,SB的中点。3ABC,SA=SC二2相,M求：AC1SB解如图2所示建立空间直角坐标系O-xyz。则由图2得A（2,0,0）,B（0,273,0）C（-2,0,0）,S（0,0,2冋M（l,VIo）,7V（O,V3,V2）由以上可得Xc=（-4,0,0）SB=(0,2V3-2a/2)因为ACSB=(-4,0,0)(0,2^3-2V2)=0所以AC丄SB说明空间的线线，线面，面血垂肓关系都可以转化为空间两个向最的垂肓问题
6、来求解。而上述例题正是线线垂直的问题，它利用了下面的关系定理:个方向向量，那么°丄boa丄Zoa•亍=0o四利用平面的向量法来求线面角如图3为平而Q的斜线，斤为平而Q的法向量。例4在正方体ABCD-A.B,C,D,中，如图4,M,N分别是棱和AD的中所以n(2,-1,1)如果乔与：之间所成的角炉为锐角，则斜线AB与平而Z间所成的角9二彳一0。又DA=(1,0,0)则DA•n=2,
7、Z)A
8、=1,n二品以0表示DA^jn所成的角•则cos（p=DAn2_V6DA•na/63以〃表示D4与平面BMD、N所成的角.说明为了避免向量；中双重符号的选取的麻烦，对于平面Q的斜向最7与一I/-
9、/7法向量间的锐角（P,口J由COS^=_L_來确定。kl-H五利用平面的向量法求二面角如图5设用&表示二面角a-L-[3的值，乂设兀，石分别是平面Q及0的法向量，这两个法向量的方向应该是这样配备的，当&或0半平而绕着其棱L转动到另一半平面重合时，这两个向量的方向应当一致，在满足这些条件下，我们有cos&二2X而下面的例题可用此方法。例5ABCD是直角梯形ZABC=ZBAD=90Q,乂SD丄平ABCDSS*1AD=1,如图6。求面边与面^所成二面角的正切值。解建立如图
