正文描述:《高中数学立体几何专题:空间距离的各种计算(含答案)doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高中数学立体几何空间距离1.两条异面直线间的距离和两条异面直线分别垂直相交的直线,叫做这两条异面直线的公垂线;两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度,叫做两条异面直线的距离.2.点到平面的距离从平面外一点引一个平面的垂线,这点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离.3.直线与平面的距离如果一条直线和一个平面平行,那么直线上各点到这平面的距离相等,且这条直线上任意一点到平面的距离叫做这条直线和平面的距离.4.两平行平面间的距离和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两平行平面的公垂线,它夹在两个平行平面间的公垂线段的长叫做这两个平行平面的距离.题型一
2、:两条异面直线间的距离【例1】如图,在空间四边形ABCD中,AB=BC=CD=DA=AC=BD=a,E、F分别是AB、CD的中点.例1题图(1)求证:EF是AB和CD的公垂线;(2)求AB和CD间的距离;【规范解答】(1)证明:连结AF,BF,由已知可得AF=BF.又因为AE=BE,所以FE⊥AB交AB于E.同理EF⊥DC交DC于点F.所以EF是AB和CD的公垂线.(2)在Rt△BEF中,BF=,BE=,所以EF2=BF2-BE2=2,即EF=.例2题图由(1)知EF是AB、CD的公垂线段,所以AB和CD间的距离为.【例2】如图,正四面体ABCD的棱长为1,求
3、异面直线AB、CD之间的距离.设AB中点为E,连CE、ED.∵AC=BC,AE=EB.∴CD⊥AB.同理DE⊥AB.∴AB⊥平面CED.设CD的中点为F,连EF,则AB⊥EF.同理可证CD⊥EF.∴EF是异面直线AB、CD的距离.∵CE=,∴CF=FD=,∠EFC=90°,EF=.∴AB、CD的距离是.【解后归纳】求两条异面直线之间的距离的基本方法:(1)利用图形性质找出两条异面直线的公垂线,求出公垂线段的长度.(2)如果两条异面直线中的一条直线与过另一条直线的平面平行,可以转化为求直线与平面的距离.(3)如果两条异面直线分别在两个互相平行的平面内,可以转化为
4、求两平行平面的距离.例3题图题型二:两条异面直线间的距离【例3】如图(1),正四面体ABCD的棱长为1,求:A到平面BCD的距离;过A作AO⊥平面BCD于O,连BO并延长与CD相交于E,连AE.∵AB=AC=AD,∴OB=OC=OD.∴O是△BCD的外心.又BD=BC=CD,∴O是△BCD的中心,∴BO=BE=.又AB=1,且∠AOB=90°,∴AO=.∴A到平面BCD的距离是.【例4】在梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=,AB=a,AD=3a且sin∠ADC=,又PA⊥平面ABCD,PA=a,求:(1)二面角P—CD—A的大小;(2)点A到平面PBC的距
5、离.【规范解答】(1)作AF⊥DC于F,连结PF,∵AP⊥平面ABCD,AF⊥DC,∴PF⊥DC,∴∠PFA就是二面角P—CD—A的平面角.在△ADF中,∠AFD=90°,∠ADF=arcsin,AD=3a,∴AF=,在Rt△PAF中tan∠PFA=,∴∠PFA=arctan.(2)∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC,又BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB,作AH⊥PB,则BC⊥AH,∴AH⊥平面PBC,∵PA⊥AB,PA=AB=a,∴PB=a,∴AH=.【例5】如图,所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC1F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC
6、1=3,BE=1.(Ⅰ)求BF的长;(Ⅱ)求点C到平面AEC1F的距离.解法1:(Ⅰ)过E作EH//BC交CC1于H,则CH=BE=1,EH//AD,且EH=AD.∵AF∥EC1,∴∠FAD=∠C1EH.∴Rt△ADF≌Rt△EHC1.∴DF=C1H=2.(Ⅱ)延长C1E与CB交于G,连AG,则平面AEC1F与平面ABCD相交于AG.过C作CM⊥AG,垂足为M,连C1M,由三垂线定理可知AG⊥C1M.由于AG⊥面C1MC,且AG面AEC1F,所以平面AEC1F⊥面C1MC.在Rt△C1CM中,作CQ⊥MC1,垂足为Q,则CQ的长即为C到面AEC1F的距离.解
7、法2:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z).∵AEC1F为平行四边形,(II)设为面AEC1F的法向量,的夹角为a,则∴C到平面AEC1F的距离为【例4】正三棱柱的底面边长为8,对角线,D是AC的中点。BACD(1)求点到直线AC的距离.(2)求直线到平面的距离.解:(1)连结BD,,由三垂线定理可得:,所以就是点到直线AC的距离。在中..(2)因为AC与平面BD交于AC的中点D,设,则//DE,所以//平面,所以到平面BD的距离等
8、于A点到平面BD的距离,等于C点到平面
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