考研线性代数综合竞赛试题

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1、考研线性代数综合竞赛试题时间：150分满分：150分一、选择题（每题1分，共20分）1、记行列式为，则方程的根的个数为2、设维行向量，矩阵，其中为阶单位矩阵，则3、设均为2阶矩阵，分别为的伴随矩阵，若，则分块矩阵的伴随矩阵为（）（A）（B）（C）（D）4、设，，，其中可逆，则5、设为矩阵，是阶可逆矩阵，矩阵的秩为，矩阵的秩为，则与的关系依而定考研线性代数综合竞赛试题（第8页共8页）6、设矩阵的秩，为阶单位矩阵，下述结论中正确的是的任意个列向量必线性无关的任意一个阶子式不等于零通过初等行变换，必可以化为形式非齐次方程一定有无穷多组解7、设3阶矩阵，若的伴随矩阵的秩为

2、1，则必有或或或或8、设矩阵，已知矩阵相似于，则秩与秩之和等于9、设向量组线性无关，向量可由线性表示，而向量不能由线性表示，则对于任何常数，必有，线性无关，线性相关，线性无关，线性相关10、设向量组，则该向量组的极大线性无关组是考研线性代数综合竞赛试题（第8页共8页）11、设是矩阵，是矩阵，则线性方程组当时仅有零解当时必有非零解当时仅有零解当时必有非零解12、设阶矩阵的伴随矩阵，若是非齐次线性方程组的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组的基础解系不存在仅含一个非零解向量含有两个线性无关的解向量含有三个线性无关的解向量13、设是4阶矩阵，是A的伴随矩阵，若是方程组的

3、一个基础解系，则的基础解系可为（）14、设是四元非齐次线性方程组的三个解向量，且，表示任意常数，则线性方程组的通解等于15、设是非奇异矩阵的一个特征值，则矩阵有一个特征值等于16、设是阶实对称矩阵，是阶可逆矩阵。已知维列向量是的属于特征值的特征向量，则矩阵属于特征值的特征向量是17、设为阶矩阵，且与相似，为阶单位矩阵，则与有相同的特征值和特征向量与都相似于一个对角矩阵对任意常数，与相似考研线性代数综合竞赛试题（第8页共8页）18、设矩阵，，则于（）（A）合同，且相似（B）合同，但不相似（C）不合同，但相似（D）既不合同，也不相似19、设、为同阶可逆矩阵，则存在可逆

4、矩阵，使存在可逆矩阵，使存在可逆矩阵和，使20、设为3阶实对称矩阵，如果二次曲面方程在正交变换下的标准方程的图形如图，则的正特征值个数为【】(A)0.(B)1.(C)2.(D)3.　二、填空题（每空1分，共26分）21、设，矩阵，为正整数，则；22、设行列式，则第4行各元素余子式之和的值为；23、设均为阶矩阵，，则；24、若4阶矩阵与相似，矩阵的特征值为，则行列式；25、设3阶矩阵满足，其中为3阶单位矩阵，若，则；26、设矩阵，，则；考研线性代数综合竞赛试题（第8页共8页）27、设矩阵满足，其中，为单位矩阵，为的伴随矩阵，则；28、设为三阶方阵，且，，且已知存在三

5、阶方阵，使得，则29、设矩阵，且，则；30、设3阶矩阵，三维列向量，已知与线性相关，则；31、已知中的两个基为与，则由基到基的过渡矩阵为；32、设有向量组（I）：和向量组（II）：，若已知两向量组不等价，则；33、设，，其中，则线性方程组的解是；考研线性代数综合竞赛试题（第8页共8页）34、设是实正交矩阵，且，则线性方程组的解是；35、设方程有无穷多个解，则；36、已知下列非齐次线性方程组（I），（II）：（I）（II）则：（1）方程组（I）的通解为；（2）若已知方程组（I）与（II）同解，则方程组中的参数所满足的条件是；37、设为2阶矩阵，为线性无关的2维列向量

6、，，．则的非零特征值为___________；38、设矩阵可逆，向量是矩阵的一个特征向量，是对应的特征值，其中是矩阵的伴随矩阵，则__；__；__；39、设矩阵与相似，其中，，则（1）__；__；（2）若存在可逆矩阵，使得，则矩阵___________；40、设有元实二次型，，其中为实数。则当满足条件时，二次型为正定二次型。41、已知二次型在正交变换下的标准型为，且的第三列为。则矩阵考研线性代数综合竞赛试题（第8页共8页）三、计算题（每题10分，共80分）42、设为3阶方阵，是的伴随矩阵，的行列式，求行列式的值。43、设，其中是4阶单位矩阵，是4阶单位矩阵的转置矩

7、阵，且，求矩阵。44、已知向量组向量组与向量组具有相同的秩，且可由线性表示求的值.45、已知线性方程组问和各取何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解的情形下，试求出一般解。46、设其中是的转置矩阵，求解方程。47、设矩阵已知线性方程组有解但不唯一，试求：（1）的值；（2）正交矩阵，使为对角矩阵。考研线性代数综合竞赛试题（第8页共8页）48、设3阶实对称矩阵的秩为2，是的二重特征值。若都是的属于特征值6的特征向量。（1）求的另一特征值和对应的特征向量；（2）求矩阵。49、设二次型，其中二次型的矩阵的特征值之和为，特征值之积为。（1）求的值；（2

8、）利用正交