线性代数在投入产出中的应用

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1、一、摘要投入产出模型是利用线性代数方法和电子计算机手段,研究经济活动的投入与产出间数量依存关系的一种经济数学模型.投入产出模型是企业实现全面计划管理最适用而有效的工具。静态投入产出模型在我因企业的应用研究已日趋成熟.一些大、中型企业成功地建立和应用投入产出模型,收到了明显的经济效益。然而,到目前为止,投入产出技术远未在企业得到普及.例如,在重庆市,企业投入产出模型的编制与应用才刚刚起步.笔者以为,针对企业的具体生产工艺特点,灵活地运用投入产出技术,编制适用的投入产出模型及应用程序,普及推广投入产出技术,促进企业管理现代化乃是当前企业投入产出应用研究之主要方向。关键词：线性代数数学建模投入产出

2、企业管理二、问题的提出1、背景：在经济学中，经常要研究多个经济部门之间的投入产出关系。针对这个问题，利用线性方程组的有关知识建立相应的数学模型，深入分析经济部门之间的投入产出关系。在研究多个经济部门之间的投入产出关系时,W.Leontief提出了投入产出模型.这为经济学研究提供了强有力的手段.W.Leontief因此获得了1973年的Nobel经济学奖.2、待解决的问题：用线性代数方法，建立数学模型，利用MATLA得出结果。简而言之，就是结合数学软件解决线性代数在企业投入产出模型的运用。三、问题的分析根据企业投入产出，按行建立的分配方程或产出方程组模型。由第Ⅰ象限和第Ⅱ象限（参见投入产出表）

3、的各行组成一个方程，反映各部门生产的总产品的分配使用情况，平衡关系是：中间产品+最终产品=总产品。按列建立的生产方程组或投入方程组模型。由第Ⅰ象限和第Ⅲ象限各列组成一个方程，反映总产品价值的形成过程，平衡关系是:物质消耗转移价值+新创造价值=总产值，即式中：Vj为j部门提供的劳动报酬；Mj为j部门创造的社会纯收入。分配方程组模型对价值型和实物型表都适用，而生产方程组仅对价值型表适用。18在经济分析方面：可以用于结构分析，还可以用于编制经济计划和进行经济调整等编制计划的一种作法是先规定各部门计划期的总产量，然后计算出各部门的最终需求；另一种作法是确定计划期各部门的最终需求，然后再计算出各部门的

4、总产出。后一种作法符合以社会需求决定社会产品的原则，同时也有利于调整各部门产品的结构比例，是一种较合理的作法四、建模过程4.1利用投入产出表直接表示的投入产出的数学模型4.1.1模型分析1.投入产出表的结构设某企业的生产体系划为三个部门，2008年度三个部门的生产与消耗情况如表1所示。表1单位：亿元产出部门间流量投入消耗部门最终产品总产出部门一部门二部门三生产部门部门一部门二部门三18242010128129163830431006080新创造价值601536总产品价值1006080①表1结构：生产部门，消耗部门，部门间流量，最终产品，总产出，新创造价值，总产品价值。②水平方向表示的是每个部

5、门总产出（也叫总产值）的分配情况。每个部门的总产出应等于提供给各部门消耗的中間产品与最终产品的价值量之和。③表1的竖直方向，反映的是每个部门总投入的构成情况。每个部门的总投入应等于其所消耗的部门产品与新创造价值量之和。④结论：每个部门的总投入与总产出是相互平衡的。列举经济网络系统各部门的投入产出关系的表，称为投入产出表。以货币计量单位编制的投入产出表叫做价值型投入产出表。表1就是价值型投入产出表。一般地，价值型投入产出表的基本结构，见表2。18产出部门间流量投入消耗部门最终产品总产出消费积累合计生产部门新创造价值劳动报酬纯收入合计总投入表2价值型投入产出表表2中有关数据的经济意义如下：表示第

6、部门总产出的价值量，或是第部门总投入的价值量；表示第部门生产的用作最终使用部分的产品的价值量；表示第部门分配给第部门的产品的价值量，或第部门消耗第部门生产的产品的价值量。该量又称为部门间的流量；表示第部门发给劳动者的劳动报酬；表示第部门创造的纯收入；表示第部门新创造的价值量（增加值）。表2分成四部分，分别称为第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限，如表3所示。18表3价值投入产出表的表式结构产出部门间流量投入中间使用最终产品总产出消费积累合计中间投入ⅠⅡ增加值劳动报酬ⅢⅣ纯收入合计总投入消耗部门产品的价值量也称中间使用的价值量，生产部门的价值量也称中间投入的价值量，新创造价值也称增加值。第Ⅰ象限:行方向表明某

7、部门生产的产品分配给各部门使用的价值量，也称中间产品或中间使用；列方向表明某部门在生产过程中消耗各部门的产品的价值量，也称为中间投入或中间消耗。第Ⅱ象限：由个部门和各行与最终产品的各列交叉而成，反映了最终产品的构成；第Ⅲ象限：由新创造价值的各行与个部门的各列交叉而成，反映了国民收入的初次分配情况；第Ⅳ象限：由新创造价值的各行与最终产品的各列交叉而成，反映国民收入再次分配情况。一般空出不用。 2、平衡方程组(1