线性代数——在化工中的应用案例

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1、线性代数总结向量、向量组与线性方程组行列式矩阵方阵的特征值和特征向量线性空间第二章克莱姆法则线性方程组矩阵的初等变换矩阵的秩向量组的线性相关性向量组的秩线性方程组的解的结构维数、基与坐标线性变换第一章第三章第四章第五章研究在CO2和H2O存在下，由CO与H2合成甲醇的反应。（1）写出反应的原子矩阵形式；（2）求原子矩阵的秩（3）确定反应a1CH3OH+a2CO+a3H2+a4CO2+a5H2O=0的一套计量系数，即确定一组完整的独立反应组。引例？？1、用矩阵对物质进行表示。例1：由三种元素H，C和O组成的三种物质CO2，H2O和H2CO3的混合物，写出其原子矩阵形式的表示式。线性代数第六

2、章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题在对物质和物质间的反应进行表示时，假定给定n个原子的总和，由这些原子构成所讨论的分子。用Bj表示相应于每个原子（用j标记）的排列有序的数和，它由0和1构成，其本质即原子的符号。于是，由这些原子组成的Ai物质的分子向量可表示为：（1）其中是Ai分子中Bj原子的数目。称具有整系数的向量式（1）为分子式或分子。线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题由原子组成的分子的总和可用以下方程组写出：（2）2009-12-25链接1.ppt线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题若记（3

3、）则式（21）可写成矩阵乘法的形式，即（4）线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题或写成（5）其中表示由数组成的矩阵，称其为原子矩阵。线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题原子矩阵例1：由三种元素H，C和O组成的三种物质CO2，H2O和H2CO3的混合物，写出其原子矩阵形式的表示式。原子矩阵为线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题2、用线性空间对物质和物质间的反应进行表示。例2：求含有物质CO2，H2O和H2CO3的子空间的

4、维数，基底和坐标2009-12-25链接2.ppt。线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题解：线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题即原子矩阵中第三列可用第一列和第二列线性表示，故含有物质CO2，H2O和H2CO3的子空间的维数等于2．线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题由于所以即线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题所以，可将结构片断和作为由物质CO2，H2O和H2CO3构成的子空间的基底

5、。第一个片断可写为，第二个片断可写为，在该子空间的基底中，分子(向量)的总和可表示为线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题3、用矩阵对化学反应方程组进行表示。例3：写出由四种物质CH4，CH2O，O2和H2O所组成的集合的一套化学计量系数。线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题定理如果分子的原子矩阵β的秩为m，则这些分子必处于m维的空间Rm中。线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题向量空间Rn包括了所有可能的由原子构成的物质。例如，碳氢化合物就可看作是由两类元素氢和碳构成的,即某空间Rn中的子

6、集合。所以，重要的问题是确定一子空间Rm,而子集合处于子空间Rm中。定理如果分子的原子矩阵β的秩为m，则这些分子必处于m维的空间Rm中。如果，则不失一般性，可设矩阵β的前m列线性无关，并用它们表示其余的(n-m)列。用表示矩阵β的相应列向量，依上所述，则有：线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题其中是相应的线性无关向量线性组合的系数。系数矩阵为：线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题若用表示由线性无关的列向量所组成的矩阵，不难证明(6)物质分子的矩阵形式为(7)(6)式代入(7),得(8)即(9)其中列向量的元素是式(4)中

7、列向量B的元素的线性组合。因为通过它们表示所有的分子Ai，则它们就组成了子空间Rm的基底，其中包括所研究的分子。线性代数第六章在化工中的应用实例6.16.1化学计量矩阵与化学平衡问题子空间的基底对于处在子空间Rm中的物质集合，利用式(1)～（4）总可以选择m个线性无关的元素，它们构成了该子空间的基底．此时原子矩阵表示该基底里的物质的和，而的秩为m(m个线性无关的行和列)。现设的前m行线性无关，则m十1，m十2,…，M行可用前m行的线