线性代数在实际生活中的应用

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1、线性代数在实际生活中的应用摘要：线性代数是讨论矩阵、线性组合、有限维向量空间及线性变换的一门科学，本文阐述了线性代数和实际生活联系的密切性和广泛应用性，通过丰富有趣的实例将线性代数模型应用到实际生活中，并给出求解过程，进一步说明线性代数应用的广泛性。关键词：线性代数模型生活应用中图分类号：G71文献标识码：A文章编号：1672-3791(2016)06(a)-0000-00线性代数与实际生活联系紧密并具有广泛的应用性，生活中一些难以解答的问题，如果能将之抽象成数学问题，且运用线性代数构造模型，这些问

2、题将会得到较为简单的解决方案。本文通过生活中的一些实例阐述了线性代数模型的应用，下面就几个生活中的问题进行具体讨论。一、线性代数与通入产出模型投入产出分析是20世纪30年代由俄罗斯籍美国经济学家列昂惕夫(1906〜1999)首先提出的，是经济分析的一种方法。为了进行生产，每个产业部门必须要有投入，这些投入包括原料、半成品和从其他部门购置的设备等，还需要支付工商税收、支付工资等。但在生产的过程中，既有物资方面（如原材料、设备、运输、能源）又有人力等方面的消耗。投入的目的是为了生产，生产的结果必然是要创

3、造新的价值。总之，在物资方面的消耗和新创造的价值等于他的总产品的价值，就是“投入”和“产出”之间总的平衡关系。下面是一个将产业部门简化为仅有农业、制造业和服务业构成的例子。假设没有进口，也不考虑折旧等因素，给出投入产出表（表1-1）解：表1-1中数字表示产值，单位为亿元。每一行表示单位部门生产的用作各部门的投入的价值和提供给外部用户的分配，没一列表示一个部门需要投入的资源。用1，2,3分别表示农业、制造业和服务业;设为部门的总产值；为部门在生产中消耗部门的产值（也称部门间的流量）；为部门的外部需求（

4、也称部门的最终产品）。那么表1-1中行的基本关系为将投入产出表1-1中的数字转换成表示每个部门的单位产值产出需要的投入更为方便，这样转换所得的表称为技术投入产出表，表中元素称为投入系数或直接消耗系数。将表1-1中各部门的投入除以该部门的总产出可得技术投入产出表（表1-2）令表示生产一个单位产值的产品需要消耗产品的产值（称为直接消耗系数）即将它代入式（1-1）得令T（称为直接消耗系数矩阵），向量x，d分别表示总产出向量和外部需求向量，则式（2-2）可写成矩阵形式x=Tx+d或（E-T）x=d（3-3）

5、式称为产出平衡方程，它是投入产出中的基本平衡关系式，是进行一系列数值计算和经济分析的基础。若令A=E-T，则式（2-2）最终化为Ax=d,其中，在本例中，若直接消耗系数矩阵T不变，社会外部需求确定，可求出各部门的总产出x;若社会最终需求改变，那么相应的总产出应如何改变呢？这就需要对d求解线性方程组（3-3）.如果对任何的外部需求d（其元素不会出现负值），方程组都有非负解x（每个元素非负），就称此经济系统是可行的。对上述矩阵A，求其逆矩阵，可得其元素全部非负.因此对任何外部需求向量d（元素全部非负）解

6、得的总产出的元素也是全部非负，即此经济系统是可行的。二、线性方程组在量纲分析模型中的运用在力学中，任一物理量都可以表示为最基本的物理量一质量（M）、长度（L）和时间（T）的组合形式，这种组合形式称为这一物理量的量纲.如面积的量纲是，密度的量纲是（或者）。值得注意的是量纲是独立于单位的例如，速度的量纲是（或者），但它可以用英里每小时或米每秒为单位.通常用qim表示取量纲的运算，如面积A的量纲qimA;速度v的量纲qimv等。量纲齐次原则是指任一个有意义的方程必定是量纲一致的，即方程左右两边的量纲应保持

7、一致。即有qim左边=qim右边.同时，左边或右边的每一项也都必须有相同的量纲.只有量纲相同的项才可以相比较，相加减。因此，我们来考虑下实际问题。设长为1，吃水深度为h的船以速度v航行，若不考虑风的影响，那么航船受到的阻力f除依赖船的诸变量1，h，v以外，还与水的参数一密度P，粘度U，以及重力加速度g有关。下面用量纲分析法确定阻力与这些物理量之间的关系。解：航船问题中涉及到的物理量有：阻力f，船长1，吃水深度h，船速v，水的密度P，粘度U，以及重力加速度g.要寻求的物理关系记作：这是一个力学问题，基

8、本量纲选为L，M，T，上述各物理量的量纲表为式中u的量纲由基本关系得到.这里p是压强（单位面积受的力），所以；V是流速，X是尺度，，代入可得U的上述量纲.由式（2-2）可写出量纲矩阵经计算知矩阵A的秩R（A）二3.解齐次线性方程组Ay=O可得基础解系为式（2-4）给出4个相互独立的量纲为1的量而式（2-1）与等价，①是未定的函数，式（2-5）和式（2-6）表达了航船问题中各物理量之间的全部关系.为得出阻力的显示表达式，由式（2-6）及式（2-5）中的式子可写出式中W是