论文_n维欧氏空间上的次正交与次对称

《论文_n维欧氏空间上的次正交与次对称》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在学术论文-天天文库。

1、大学本科毕业论文（设计）第1页前言随着现代经济数学等学科的发展需要，人们开始对未必对称的矩阵的正定问题进行研究。一些学者已开始从矩阵的次对角线方向研究问题，提出了矩阵的次转置，次对称，次正交，次正定等概念并研究其性质。事实上，次对角线方向的矩阵理论在信息论，经济数学，组合矩阵，辛几何，控制论，物理学等众多学科中同样有用。在国内对次正交研究较为早的有渝州大学的袁晖坪在渝州大学学报发表合同的次正交与次合同矩阵。此外还有秦兆华.，关于实次对称矩阵与反次对称矩阵。在近几年，对次正交以及相关研究的有钟润华，张新敬

2、等。对次正交以及次对称矩阵的研究在组合矩阵，控制论，物理学等学科的研究中都起到了重要作用。本论文的思路是参照《高等代数》中“欧氏空间”一章，将参考文献中给出的次正交基及次正交变换的定义进行整理扩充。再联系次对角线矩阵的理论知识，类比于欧氏空间中对正交基、正交变换的讨论，建立次正交基及次正交变换的相应结论和性质。并建立了一个关于次半正定的命题，即若是次正定矩阵，则根据的不同是次半正定或次半负定矩阵。大学本科毕业论文（设计）第2页第一章次正交1.1关于次转置的定义与基本性质定义设矩阵：则称矩阵为矩阵的次转置

3、，记的次转置为。由定义1立即可得命题命题设是一个分块矩阵，其中是子块。则大学本科毕业论文（设计）第3页定义给定中向量，则称为向量，的次内积。=次内积所具有的性质：1）2）3）说明：次内积也具有与内积相似的几个性质，但由于两者在定义上的不同。次内积就不具有正定性。即当时，不一定等于。这是和内积不同的，正是由于这点不同，在内积中向量长度可以用来定义，但在次内积中是没有意义的。引理设是一个矩阵，则或其中，是次对角线上的元素全为1其余元素全为0的方阵，是的转置矩阵。证明：设，记。首先容易看出与都是矩阵。其次，，

4、其中大学本科毕业论文（设计）第4页推论（1）（2）（与是同级矩阵）（3）（是常数）（4）（是矩阵，是矩阵）。证明：（4）设是一个矩阵，是一个矩阵，由引理1，有等式两边分别左乘和右乘后，即证出。引理设是阶方阵，则。证明：引理设是可逆的阶方阵，则也可逆，且。显然，。证明：1.1次正交规范基与次正交矩阵定义若两个向量和的次内积为零，即=，那么和称为次正交的。在考虑次正交时，同样勾股定理也成立，勾股定理写为，若=0则因为大学本科毕业论文（设计）第5页仿照正交时的情形，不难将勾股定理推广到多个向量的情形，即若向量

5、两两次正交，那么定义欧氏空间中的一组非零向量，如果它们两两次正交，即则称此向量组为次正交向量组。在正交情形下一组正交向量组是线性无关的。但在次正交的情形下，这一点就不得而知了。这也是因为次内积不具备正定性。维欧氏空间中，在正交的情形下。任意一组基都可以找到一组标准正交基使得其度量矩阵为单位阵。在次正交的情形下，也有类似的结论。即定理1维欧氏空间中，存在一组基使得其次度量矩阵形式为证明：我们用归纳法进行证明，当=1时，（为非零常数），所以成立。假设在维时命题也成立，现在来看维的情形，在空间中存在一组基满足

6、。令，则有，，且仍是一组基。由归纳假设，中存在基，其次度量阵为，令，大学本科毕业论文（设计）第6页再加上就构成了维空间的一组基。使得其次度量矩阵，，证毕注，在时需适当排列基向量的次序。定义设是一个阶实矩阵，若（或），则称为一个次正交矩阵。定理设是一个阶实矩阵，是的列向量组。则是次正交阵的充要条件为证明：因由命题1知于是是次正交阵定义若为的一个基，适合，则称为欧氏空间的一个次正交规范基。在内积中，维欧氏空间中任意一个正交向量组都能扩充成一组正交基。在大学本科毕业论文（设计）第7页次正交中这是不成立的。因为

7、，次正交向量组的定义与次正交规范基的定义本质上是不同的。次正交基涉及到了向量的次序问题，。所以不能通过次正交向量组得到一组次正交基。定理阶实矩阵是一个次正交阵的充要条件是矩阵的列向量组为的一个次正交规范基。定理设（1）与（2）为的两个次正交规范基，=是（1）到（2）的过渡矩阵，则是一个次正交阵。证明：因，于是而为的一个次正交规范基，所以又为的一个次正交规范基。因此令为的列向量。则。而是可逆矩阵，是的一个基，于是为的一个次正交规范基。根据定理3知是一个次正交阵。定理设为的一个次正交规范基，而=一个次正交阵

8、。令，则为的一个次大学本科毕业论文（设计）第8页正交规范基。命题设为次正交矩阵，则12当的阶数为奇数，且时，则必有特征根1。3当时，必有特征根-1。证明：（1），又因为，所以，即。（2）设的特征多项式为，则。另一方面，由为次正交，及已知，所以即1为的特征根。（3）证法同上命题设为次正交矩阵，则（1）若也是阶次正交矩阵，则及均为阶次正交矩阵。（2），（其中表示次正交矩阵的伴随矩阵）也是次正交矩阵证明：（1）由条件有，所以即为次正交阵。所以也是