圆锥曲线综合试题

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1、1.平面上一点向二次曲线作切线得两切点，连结两切点的线段我们称切点弦.设过抛物线外一点的任一直线与抛物线的两个交点为C、D，与抛物线切点弦AB的交点为Q。（1）求证：抛物线切点弦的方程为；（2）求证：.2.已知定点F（1，0），动点P在y轴上运动，过点P作PM交x轴于点M，并延长MP到点N，且（1）动点N的轨迹方程；（2）线l与动点N的轨迹交于A，B两点，若，求直线l的斜率k的取值范围.3.如图，椭圆的左右顶点分别为A、B，P为双曲线右支上（轴上方）一点，连AP交C1于C，连PB并延长交C1于D，且△ACD与△PCD的面积相等，求直线P

2、D的斜率及直线CD的倾斜角.4.已知点，动点满足条件.记动点的轨迹为.（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）若是上的不同两点，是坐标原点，求的最小值.5.已知曲线C的方程为:kx2+(4-k)y2=k+1,(k∈R)（Ⅰ）若曲线C是椭圆，求k的取值范围；（Ⅱ）若曲线C是双曲线，且有一条渐近线的倾斜角是60°，求此双曲线的方程；（Ⅲ）满足（Ⅱ）的双曲线上是否存在两点P，Q关于直线l：y=x-1对称，若存在，求出过P，Q的直线方程；若不存在，说明理由。6.如图（21）图，M（-2，0）和N（2，0）是平面上的两点，动点P满足：(1)求点P的轨迹方程；(2)

3、若,求点P的坐标.7.已知为椭圆的右焦点，直线过点且与双曲线的两条渐进线分别交于点，与椭圆交于点.（I）若，双曲线的焦距为4。求椭圆方程。（II）若（为坐标原点），，求椭圆的离心率。8.设曲线（为正常数）与在轴上方只有一个公共点。（Ⅰ）求实数的取值范围（用表示）；（Ⅱ）为原点，若与轴的负半轴交于点，当时，试求的面积的最大值（用表示）。1.（1）略　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　xyO（2）为简化运算，设抛物线方程为，点的坐标分别为，点，直线，一方面。要证化斜为直后只须证：由于　　另一方面，由于所以切点弦方程为：所以

4、　　　　　　　　　从而　　　　　即　　　　　　　　　　2.（1）设动点N的坐标为（x,y），则…………………2分，因此，动点的轨迹方程为……4分（2）设l与抛物线交于点A（x1,y1）,B(x2,y2)，当l与x轴垂直时，则由，不合题意，故与l与x轴不垂直，可设直线l的方程为y=kx+b(k≠0),则由…6分由点A，B在抛物线又y2=4x,y=kx+b得ky2－4y+4b=0,……………………8分所以……10分因为解得直线l的斜率的取值范围是.………………………………………………………………12分3.由题意得C为AP中点，设，把C点代入

5、椭圆方程、P点代入双曲线方程可得解之得：故直线PD的斜率为，直线PD的方程为联立，故直线CD的倾斜角为90°4.解法一：（Ⅰ）由

6、PM

7、－

8、PN

9、=知动点P的轨迹是以为焦点的双曲线的右支，实半轴长又半焦距c=2，故虚半轴长所以W的方程为,（Ⅱ）设A，B的坐标分别为,当AB⊥x轴时,从而从而当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为,与W的方程联立,消去y得故所以.又因为,所以,从而综上,当AB⊥轴时,取得最小值2.解法二:(Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）设A，B的坐标分别为，则,,则令则且所以当且仅当,即时””成立.所以的最小值是2.5.(1)当k

10、=0或k=-1或k=4时，C表示直线；当k≠0且k≠-1且k≠4时方程为即是00，∴存在满足条件的P、Q，直线PQ的方程为6.(1)由椭圆的定义，点P的轨迹是以M、N为焦点，长轴长2a=6的椭圆.因此半焦距c=2，长半轴a=3，从而短半轴b=，所以椭圆的方程为(2)由得①因为不为椭圆长轴顶点，故P、M、N构成三角形.在△PMN中，②将①代入②，得故点P在以M、N为焦点，实轴长为的双曲线上.由(1)知，点P的坐标又满足，所以由方程组解得即P点坐标为7.解：（

11、I），是直线与双曲线两条渐近线的交点，，即………………2分双曲线的焦距为4，……………………4分解得，椭圆方程为…………5分（II）解：设椭圆的焦距为，则点的坐标为，直线的斜率为，直线的斜率为，直线的方程为…………………………………………7分由解得即点设由，得即……10分。点在椭圆上，………………………………12分，椭圆的离心率是。8.（Ⅰ）由，……①设，则问题（Ⅰ）转化为方程①在区间上有唯一解：①若，此时，当且仅当，即适合；②若，则；③若，此时，当且仅当，即时适合；若，此时，但，从而。综上所述，当时，或；当时，。（Ⅱ）的面积是。因为，

12、所以有两种情形：①当时，，由唯一性得。显然，当时，取得最小值，从而取得最大值，所以有；②当时，，，此时。因此，有当，即时，；当，即时，。