数学与应用数学外文+翻译

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1、2009NO.8.数学分析原理幂级数的展开及其应用梁慧(杭州师范大学理学院数学与应用数学数学053，浙江杭州310000)【摘要】通过学习幂级数的一些基本知识，得出常用初等函数幂级数的展开式．并且探讨函数幂级数在初等函数的应用。【关键词】幂级数；马克劳林公式；泰勒公式；初等函数幂级数是数学分析中的—个非常重要的内容，而且幂级数的应用也非常广泛，可以借助幂级数的展开形式，很容易的解决一些较为复杂的问题，本文旨在研究幂级数的展开形式及其在初等函数的应用。一、马克劳林(Maclaurin)公式幂级数实际上

2、可以视为多项式的延伸，因此在考虑函数能否展开成幂级数时，可以从函数与多项式的关系入手来解决这个问题．为此，这里不加证明地给出如下的公式．泰勒(Taylor)公式如果函数在的某一邻域内，有直到阶的导数，则在这个邻域内有如下公式：,(9-5-1)其中．称为拉格朗日型余项．称(9-5-1)式为泰勒公式．如果令，就得到，(9-5-2)此时，,()．称(9-5-2)式为马克劳林公式．公式说明，任一函数只要有直到阶导数，就可等于某个次多项式与一个余项的和．我们称下列幂级数-4-.数学分析原理2009NO.8.数

3、学分析原理(9-5-3)为马克劳林级数．那么，它是否以为和函数呢?若令马克劳林级数(9-5-3)的前项和为，即，那么，级数(9-5-3)收敛于函数的条件为．注意到马克劳林公式(9-5-2)与马克劳林级数(9-5-3)的关系，可知．于是，当时，有．反之亦然．即若则必有．这表明，马克劳林级数(9-5-3)以为和函数马克劳林公式(9-5-2)中的余项(当时)．这样，我们就得到了函数的幂级数展开式：(9-5-4)它就是函数的幂级数表达式，也就是说，函数的幂级数展开式是唯一的．事实上，假设函数可以表示为幂级数

4、-4-.数学分析原理2009NO.8.数学分析原理，(9-5-5)那么，根据幂级数在收敛域内可逐项求导的性质，再令(幂级数显然在点收敛)，就容易得到．将它们代入(9-5-5)式，所得与的马克劳林展开式(9-5-4)完全相同．综上所述，如果函数在包含零的某区间内有任意阶导数，且在此区间内的马克劳林公式中的余项以零为极限(当时)，那么，函数就可展开成形如(9-5-4)式的幂级数．幂级数,称为泰勒级数．二、初等函数的幂级数展开式利用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，称为直接展开法．例1试将函数展开成的

5、幂级数．解因为,所以，于是我们得到幂级数，(9-5-6)显然，(9-5-6)式的收敛区间为，至于(9-5-6)式是否以为和函数，即它是否收敛于，还要考察余项．因为()，　且，-4-.数学分析原理2009NO.8.数学分析原理所以．注意到对任一确定的值，是一个确定的常数，而级数(9-5-6)是绝对收敛的，因此其一般项当时，，所以当时，有，由此可知．这表明级数(9-5-6)确实收敛于，因此有()．这种运用马克劳林公式将函数展开成幂级数的方法，虽然程序明确，但是运算往往过于繁琐，因此人们普遍采用下面的比较

6、简便的幂级数展开法．在此之前，我们已经得到了函数，及的幂级数展开式，运用这几个已知的展开式，通过幂级数的运算，可以求得许多函数的幂级数展开式．这种求函数的幂级数展开式的方法称为间接展开法．例2试求函数在处的幂级数展开式．解因为，而,（），所以根据幂级数可逐项求导的法则，可得,（）．三、函数幂级数展开的应用举例幂级数展开式的应用很广泛，例如可利用它来对某些数值或定积分值等进行近似计算．-4-.数学分析原理2009NO.8.数学分析原理例3利用的展开式估计的值．解由于，又因，()，所以有．可用右端级数的

7、前n项之和作为π的近似值．但由于级数收敛的速度非常慢，要取足够多的项才能得到π的较精确的估计值．参考文献[1]陈传璋，欧阳光中．数学分析(下册)[M]．北京：高等教育出版税社，1983：18O-192[2]史济怀．母函数[M]．上海：上海教育出版社，1980[3]钟玉泉．复变函数论[M]．北京：高等教育出版社，1988:14l一162-4-.数学分析原理