数学建模第二次讨论作业

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1、数学建模第二次讨论作业：计算机最优价格和广告预算班级：09电子一班组号：第三组成员：邹榕20098127冯胜20098142廖建20098143摘要：本论文针对计算机销售量与计算机市场批发价格、广告费用的关系进行了有约束最优化处理，建立了一个简单的数学规划模型，利用约束最优化模型和拉格朗日乘数法对其进行了分析与求解，并利用求导、灵敏性分析等手段对其进行了检验，并证明了其实践性。问题一中：求使利润最大价格的销售价与广告费用，假设销售价与广告费，并找出了约束条件，建立了约束最优化模型和运用了拉格朗日乘数法对其进行了求解，

2、最终得到结果。问题二中：对决策变量(价格和广告费)关于价格弹性系数的灵敏性进行了分析，分别取了几组价格弹性系数和广告费，将其代入模型，计算出了最大利润时的最优价格的升降情况，可以看出随着价格弹性系数的增加，最优价格降低；随着广告费的增加，最优价格上升。问题三中：对决策变量关于广告商估计的每增加10000美元/月的广告费，可多售200台这一数据的灵敏性进行了分析，具体方法是分别取了几组不同的数据，将其代入模型，求得了最大利润时的最优价格的升降情况，可以看出随着每增加广告费，可多售台数的增加，最优价格上升。问题四中：由问

3、题一中所列的拉格朗日方程组解出拉格朗日乘子的值，并对其实际意义进行分析。问题提出：一家个人计算机制造厂商现在每个月售出10000台基本机型的计算机。生产成本为700美元/台。批发价为950美元/台。在上一个季度中，制造厂商在几个座位试验的市场将价格降低了100美元，其结果是销售量提高了50%。公司在全国为其产品做广告的费用为每个月50000美元。广告代理商宣称若将广告预算每个月提高10000美元，会使每个月的销售额增加200台。管理部门同意考虑提高广告预算到最高不超过100000美元/月。（1）利用有约束最优化模型和

4、拉格朗日乘子法求使利润达到最高的价格和广告预算。（2）讨论决策变量（价格和广告费）关于价格弹性系数（数据50%）的灵敏性。（3）讨论据决策变量关于广告商估计的每增加10000美元/月的广告费，可多售200台这一数据的灵敏性。（4）在（1）中求出的乘子值是多少？它的实际意义是什么？你如何利用这一信息来说服最高管理层提高广告费用的最高限额？符号说明：符号意义单位n价格弹性系数m广告费用增加10000美元增加的销售量台P每月的销售量台q当前批发价（950美元）美元G当前广告费用（50000美元）美元Q每月销售利润美元y每月

5、广告费美元x销售价美元R销售价格的变化量美元问题分析与假设：基本假设：基本假设1：计算机基本销售量不变，生产成本不变。基本假设2：基本广告预算不变。基本假设3:该制造厂的产量能够满足市场需求。基本假设4：销售价降低100美元销售量增加50%，即增加销售量增加了（台），因此销售价每降低1美元增加50台的销售量。基本假设5：销售价升高1美元降低50台的销量。基本假设6：广告预算提高10000美元，销售量增加200台，因此广告预算增加1美元销售量提高0.02台。基本假设7：降低价格与增加广告费对销售量的增加互不影响。问题分

6、析：这个优化问题的目标是使计算机生产的月利润达到最高，要作的决策是销售计划和广告预算计划，即确定每月的销售价x（美元）和广告费用y(美元)，使月利润Q(美元)达到最大。问题一的模型建立与求解：基本模型：决策变量：设每月销售价为x美元，广告费用为y美元。目标函数：每月销售量为（台），即，于是有月利润（美元）即（美元）。约束条件：生产成本：生产成本为700美元/台，则美元。广告费用：基本广告预算为50000美元，广告费用不超过100000美元，即。求驻点：解得：x=750,y=-825000而（750，-825000）在

7、边界外，故极值在边界上取得。对边界x=700,此时无利润，不满足；由题意易知，利润随广告费（y）的增加而增加，故当y=100000时取得最大利润。作拉格朗日函数解得：x=935，y=100000所以取得最大利润时的销售价格为935美元，广告预算为100000美元。问题二的模型建立与求解:由问题一关系式转换得到R=55/n-125;对n取几个不同的值做实际计算，得到计算结果如下:表一、价格关于价格弹性系数的灵敏性分析：价格弹性系数48%49%50%51%52%R(美元)-10.42-12.76-15-17.16-19.

8、23R=0.0002y-35,对y取几个不同的值做实际计算，得到计算结果如下表二、广告费用关于价格弹性系数的灵敏性分析广告费用（美元）8000090000100000110000120000R（美元）-19-17-15-13-11问题三的模型建立与求解:由问题一关系式转换得到R=0.05m-25,对m取几个不同的值做实际计算，得到计算结果如下表