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1、数学建模作业离散的Logistic方程(人口的周期性变化问题)0407139仝虎2005.4.2214摘要人口问题是当今世界最引人注目问题之一.本文在人口增长的Malthus模型和Logistic连续模型的基础上,建立了离散的Logistic方程,分析并模拟了某地区的人口数周期性变化的规律.为了建立离散的Logistic方程分析并模拟某地区的人口数周期性变化的规律,文章首先简单的回顾了一下人口增长的Malthus模型和Logistic连续模型,然后建立起离散的Logistic方程,利用Matlab工具模拟了某地区的人口周期性变化规律,并进一步讨论了各项参数的
2、变化对周期的影响.一．理论前提关于人口问题的研究理论和模型很多,本节简单回顾一下常用的两个关于人口增长的模型:Malthus模型和Logistic模型.1.Malthus模型影响人口增长的因素很多:人口的底数,出生率,死亡率,男女比例,年龄结构,生产水平,天灾人祸等.为了简化问题,Malthus模型中仅考虑主要因素:增长率.人口的数量本应取离散值，但由于人口数量一般较大，为了方便理论研究,建立微分方程模型，可将人口数量看作连续变量，甚至允许它为可微变量，由此引起的误差十分微小.设t时刻人口总数为,人口增长率为,则内人口总数的增量两边同初以,并令,得Malth
3、us在分析人口出生和死亡情况的资料后发现,人口净增长率a基本上是一个常数(r=b-d,b为出生率,d为死亡率),即:Malthus模型如下:解得:假设某地区的人口增长服从Malthus模型，人口增长率r0=0.3,设1970年该地区人口为3万，即：t0=1970,y0=3,则相应的人口增长曲线如下图所示：14在某一时期内，人口数量的增长很符合Malthus模型。但是，考虑到自然资源和环境条件的限制，Malthus模型有待于修改。1.Logistic模型.荷兰生物学家Verhult提出，引入一个常数，表示在自然资源和环境条件下所能容纳的最大人口总数（环境容纳量
4、），并且认为人口增长率随人口总数的增加而减少，即：当时，，从而。按此假设，可以得到人口增长的Logistic模型：其中r0是常数，与环境无关。解得：14显然，当时，。假设某地区的人口增长服从Logistic模型，人口增长率r0=0.3。1.对于y0>的情况。设1970年该地区人口为3万，即：t0=1970,y0=3；环境容纳量=30，则相应的人口增长曲线如下图所示：2.对于y0<的情况。设1970年该地区人口为3万，即：t0=1970,y0=50；环境容纳量=30，则相应的人口增长曲线如下图所示：143.建立离散的Logistic方程为了使Logistic曲
5、线在计算机中模拟实现，以更直观、更深入分析问题，下面将Logistic模型用离散形式的方程表示出来。结合连续型的Logistic模型，经分析可知：不妨令=1,则有：初始条件：从而得到离散的Logistic模型：同样：假设某地区的人口增长服从Logistic模型，人口增长率r0=0.3。设1970年该地区人口为3万，即：t0=1970,y0=3；环境容纳量=30，则相应的人口增长曲线如下图所示：14一．问题提出设某地人口数量的变化服从Logistic规律，在正常情况下净增长率为，环境容许的极限人口数为，设当人口数量增加到（〈）时瘟疫流行，是净增长率降为，极限人
6、口数量降为（〈），于是人口数量开始下降，当降至（>）时，瘟疫停止，恢复正常。试建立这种情况下人口数量的模型，并讨论瘟疫影响下人口数量的周期性变化，以及周期与哪些因素有关。三．问题分析1.显然，初始时刻该地区的人口数量,必然小于环境容纳量.2.人口数量呈周期性变化，设周期为T.143.初始时刻到第一个峰值=应该分离出来单独考虑。4.当t>时，考虑整个过程的周期性变化。经分析可知，每一个周期都包含两个阶段：(1)初始值=大于环境容纳量的阶段，人口数量按Logistic曲线减少，终止值=。(2)初始值=小于环境容纳量的阶段，人口数量按Logistic曲线增加，终止
7、值=。两个阶段交替进行，形成整个过程的周期性变化，周期T=.四．模型建立与曲线模拟根据上述分析，利用离散的Logistic方程，可以建立该地区的人口周期性变化的数学模型：(1)当时，(2)当时，(3)当时，14注意：周期T=，初始值，实际限制量。为了便于在计算机中模拟数据实现，假设1970年该地区人口为3万，即：t0=1970,y0=3;人口净增长率=0.3,=0.08;环境容纳量=30万,=20万;实际数量限制=28万,=23万;则该地区的人口变化曲线如下图所示：程序参见[附录：程序段1—my_logistic1.m]由模拟曲线可以看出，该地区的人口数量随
8、着时间的推移呈明显的周期性变化，人口数量的取值范围：
